Многомерные расширения ТФКП

[hamilton]

g______d в сообщении #503723 писал(а):

Я понимаю, что на эти вопросы можно ответить, прочитав статьи Леутвилера.

Леутвилер ответил далеко не на все вопросы. Как это чаще бывает в новых теориях, каждый новый ответ порождает 10 новых вопросов. Это и есть новизна...
Совершенно тривиально, если сохраняются практически все старые свойства. Стандартный вопрос, который мне задавали профессора на мехмате - меня не интересуют старые свойства, которые сохраняются. Объясните, что нового в этой теории?

[g______d]

Ну хорошо, так Вы, все-таки, ответите мне, устойчив ли этот (возможно, пока не существующий) класс относительно таких простейших операций теории функций, как произведение и композиция?

Как я понял, с точки зрения профессоров мехмата это не должно быть стандартным вопросом :)

[Руст]

g______d в сообщении #503783 писал(а):

Ну хорошо, так Вы, все-таки, ответите мне, устойчив ли этот (возможно, пока не существующий) класс относительно таких простейших операций теории функций, как произведение и композиция?

Как я понял, с точки зрения профессоров мехмата это не должно быть стандартным вопросом :)

Как я понимаю, относительно них только класс функций $\sum_k a_kx^k$, где $a_k$ действительные, $x$ кватернионная переменная.

[hamilton]

g______d в сообщении #503723 писал(а):

Именно, будут ли произведение и композиция функций данного класса снова функцией данного класса?

Кто сказал, что новый класс функций должен образовывать алгебру? В определениях Леутвилера это не обязательно.
Образуют ли алгебру по композиции обобщенные аналитические функции, которые исследовала школа Векуа? Сильно сомневаюсь.
Но обобщенные аналитические функции от этого не потеряли прав называться функциями даже в двумерной теории.
Будет ли произведение обобщенных аналитических функций из данного класса снова обобщенной аналитической функцией из данного класса?
В общем случае вряд ли, если коэффициенты соответствующей системы первого порядка точно заданы, но являются переменными, а не постоянными.
Подход Леутвилера по духу развивает методы исследования обобщенных аналитических функций в смысле Векуа.

[shwedka]

hamilton в сообщении #503802 писал(а):

Кто сказал, что новый класс функций должен образовывать алгебру?

Неприлично отвечать вопросом на вопрос

[hamilton]

shwedka в сообщении #503812 писал(а):

Неприлично отвечать вопросом на вопрос

да что Вы говорите? Как Швеция поживает? Спонсоры не обижают? Если чего, обращайтесь, рассмотрим Вашу заявку...

[g______d]

Руст в сообщении #503793 писал(а):

Как я понимаю, относительно них только класс функций $\sum_k a_kx^k$, где $a_k$ действительные, $x$ кватернионная переменная.

Именно действительные? Т. е. константа уже не будет подходящей функцией?

[Руст]

g______d в сообщении #503823 писал(а):

Руст в сообщении #503793 писал(а):

Как я понимаю, относительно них только класс функций $\sum_k a_kx^k$, где $a_k$ действительные, $x$ кватернионная переменная.

Именно действительные? Т. е. константа уже не будет подходящей функцией?

Если константа не действительная, то умножением на $x$ (если образуется алгебра и х туда принадлежит) получим все функции. Все функции не интересны (произвольные функции от четырех действительных переменных, не получается выделенности).

[g______d]

Руст в сообщении #503828 писал(а):

Если константа не действительная, то умножением на $x$ (если образуется алгебра и х туда принадлежит) получим все функции. Все функции не интересны (произвольные функции от четырех действительных переменных, не получается выделенности).

Да, спасибо, понял.

[shwedka]

hamilton в сообщении #503818 писал(а):

shwedka в сообщении #503812 писал(а):

Неприлично отвечать вопросом на вопрос

да что Вы говорите? Как Швеция поживает? Спонсоры не обижают? Если чего, обращайтесь, рассмотрим Вашу заявку...

Все равно неприлично отвечать вопросом на вопрос.

Могу уточнить, поскольку вопрос интересен и мне тоже.

На вопросы об умножении и композиции Вы не ответили. Почему? варианты ответа.
1. Вы не знаете, что это такое.
2. Вы ставили себе такие вопросы, но ничего не смогли сделать.
3. Вы ставили себе такие вопросы и обнаружили, что ответ отрицательный.
4. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку не знали, что эти свойства, как минимум, полезны и важны, если они есть.
5. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку Ваш гуру Лойтвилер это запрещает
6. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку, поскольку они просто в головы не приходили.
7 Ваш вариант.

И посмотрела я Вашу статью. Как-то других ваших публикаций в MathSciNet не наблюдается.
Прямых ошибок не видно, однако класс функций весьма жидок. Вы можете построить аналоги только для стандартных функций, являющихся преобразованиями Лапласа от приличных функций. То есть, они должны быть, как минимум, голоморфны в некоторой полуплоскости, да еще и с оценками. А вот функции, голоморфной только в ограниченной области можете сопоставить Вашу функцию?

[g______d]

hamilton в сообщении #503802 писал(а):

Кто сказал, что новый класс функций должен образовывать алгебру? В определениях Леутвилера это не обязательно.
Образуют ли алгебру по композиции обобщенные аналитические функции, которые исследовала школа Векуа? Сильно сомневаюсь.
Но обобщенные аналитические функции от этого не потеряли прав называться функциями даже в двумерной теории.
Будет ли произведение обобщенных аналитических функций из данного класса снова обобщенной аналитической функцией из данного класса?
В общем случае вряд ли, если коэффициенты соответствующей системы первого порядка точно заданы, но являются переменными, а не постоянными.
Подход Леутвилера по духу развивает методы исследования обобщенных аналитических функций в смысле Векуа.

Ну замечательно. Никто не спорит, что это функции. Вопрос в смысле фразы "обобщают классический комплексный анализ", не ручаюсь за точность цитирования. А именно, при обобщении чего угодно нужно заранее договориться, какие именно свойства мы хотим обобщать. Из Вас это вытащить было невозможно, поэтому я начал задавать наводящие вопросы.

Давайте я вернусь к Вашему тексту. У меня дурацкий вопрос. После формулы (14) вводится угол $\varphi$. Почему его косинус не больше единицы? Это опечатка, или я чего-то не понимаю?

-- 14.11.2011, 23:06 --

shwedka в сообщении #503849 писал(а):

Прямых ошибок не видно, однако класс функций весьма жидок. Вы можете построить аналоги только для стандартных функций, являющихся преобразованиями Лапласа от приличных функций. То есть, они должны быть, как минимум, голоморфны в некоторой полуплоскости, да еще и с оценками. А вот функции, голоморфной только в ограниченной области можете сопоставить Вашу функцию?

По-моему, по существу построена вообще только экспонента и то, что можно из нее получить линейными комбинациями и интегрированием по параметру (в частности, действительно, и преобразование Лапласа).

[hamilton]

g______d в сообщении #503723 писал(а):

Можете ли Вы сформулировать, какие именно свойства аналитических функций могут обобщаться на кватернионы и октонионы?

Конформные отображения второго рода в тфкп имеют симметричную матрицу Якоби с нулевым следом. Эти свойства равносильны системе Коши-Римана.
Обобщения конформных отображений для новых классов функций кватернионной и октонионной переменной также имеют многомерные симметричные матрицы Якоби. Но следы матриц Якоби уже не равны нулю, а являются переменными величинами. Эти свойства равносильны новым обобщениям системы Коши-Римана.

-- Пн ноя 14, 2011 23:19:49 --

g______d в сообщении #503850 писал(а):

по существу построена вообще только экспонента и то, что можно из нее получить линейными комбинациями и интегрированием по параметру (в частности, действительно, и преобразование Лапласа).

Я понимаю, что для Вас и еще отдельных специалистов это тривиально. А какова роль только экспоненты в классической тфкп, кто-то из Вас думал?

[g______d]

hamilton в сообщении #503854 писал(а):

А какова роль только экспоненты в классической тфкп, кто-то из Вас думал?

Какого ответа Вы здесь ждете?

[hamilton]

shwedka в сообщении #503849 писал(а):

На вопросы об умножении и композиции Вы не ответили. Почему? варианты ответа.
1. Вы не знаете, что это такое.
2. Вы ставили себе такие вопросы, но ничего не смогли сделать.
3. Вы ставили себе такие вопросы и обнаружили, что ответ отрицательный.
4. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку не знали, что эти свойства, как минимум, полезны и важны, если они есть.
5. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку Ваш гуру Лойтвилер это запрещает
6. Вы не ставили себе такие вопросы, поскольку, поскольку они просто в головы не приходили.
7 Ваш вариант.

Вы читаете то, что я пишу в форме ответов, а не в виде вопросов?
Чтобы Вы четко понимали - в ответах в конце предложений ставится точка, а не знак вопроса.
А там где стоит знак вопроса - это называется вопрос. Там точки не стоит, обратите внимание, будьте добры...

[sergei1961]

Обобщённые аналитические функции, которые изучал И.Н.Векуа-это самые обычные функции. А обобщёнными их назвали только за то, что они обобщениям уравнений Коши-Римана удовлетворяют. К обобщённым функциям в смысле теории распределений ОАФ никакого отношения не имеют. Тут только названия похожие, а песни совсем разные.