Как разложить циклическую группу порядка 10 по подгруппам?

[INGELRII]

Sonic86 в сообщении #502436 писал(а):

Что-то я не вижу здесь условия гомоморфности отображения.

Так ТС самостоятельно его записала. Кроме того, оно выполняется очевидно. Ну да, просчет конечно у меня, признаю. Надо было все же указать.

[Lil]

Sonic86 в сообщении #502436 писал(а):

Если я правильно понял, Вы хотите сказать, что если группы имеют одинаковую мощность, то они изоморфны. Это неверно в общем случае. Если группы циклические, то это верно, но Вам нужно построить изоморфизм явно, чтобы Вы понимали. Изоморфизм - это биективный гомоморфизм, т.е. надо задать биективное отображение $\varphi : H_2 \times H_3 \to G$ такое, что $\varphi ((b^{i_1},c^{j_1}) \cdot (b^{i_2},c^{j_2})) = \varphi (b^{i_1},c^{j_1}) \cdot \varphi(b^{i_2},c^{j_2})$. Стройте!

Нет, я имела в виду, что одинаковая мощность - это лишь одно из условий изоморфизма.
Вы хотите сказать, что должно быть, например, так: $\varphi ((b^0,c^0) \cdot (b^0,c^1)) = \varphi (b^0,c^0) \cdot \varphi(b^0,c^1)=(a^0, a^2)$? Или нет? Не понимаю сути равенства

[Sonic86]

INGELRII в сообщении #502449 писал(а):

Так ТС самостоятельно его записала. Кроме того, оно выполняется очевидно. Ну да, просчет конечно у меня, признаю. Надо было все же указать.

А, понятно, я просто думал, что Вы в общем виде выписали условие.

Lil в сообщении #502452 писал(а):

Вы хотите сказать, что должно быть, например, так: $\varphi ((b^0,c^0) \cdot (b^0,c^1)) = \varphi (b^0,c^0) \cdot \varphi(b^0,c^0)=(a^0, a^2)$? Или нет?

Первое равенство вообще неверно. То, что я от Вас хотел, то в точности и написал. 2-е равенство тоже неверно.

Вы про изоморфизмы читали? Почитайте примеры. Что такое "гомоморфизм" знаете. Если нет, то нужно тоже прочесть, иначе не поймем ничего.

Простой пример: изоморфизм $\varphi : \langle \mathbb{R}_+;\cdot \rangle \to \langle \mathbb{R};+ \rangle$, задаваемый отображением $\varphi (x) = \ln x$.
1. Проверяем гомоморфность: $\varphi (x \cdot y) = \ln (xy) = \ln x + \ln y = \varphi (x) + \varphi (y)$.
2. Проверяем биективность: $\ln x$ возрастает и сюръективна на указанных множествах, значит она биективна.
Смысл такой: сидим мы в $\langle \mathbb{R}_+;\cdot \rangle$ и надо нам там что-то перемножить. Например, надо подсчитать $X=0,52 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot e^5$. А умножаем мы плохо, с трудом. Зато отлично складываем, без ошибок, поскольку это проще. Тогда, если мы умеем считать логарифмы и - обратно - потенцировать, то мы можем взять $\ln X = \ln (0,52) + \ln ( \pi ) + \ln ( \sqrt{2} ) + \ln ( e^5)$ вычислить все логарифмы и просто сложить (а не умножать!) и потом оттуда найти $X$. Т.е. мы можем вычисления переносить в другую группу и обратно, куда нам нравится. Или если надо проанализировать группу $A$, а $A \cong B$, а строение $B$ мы знаем, то тогда не надо изучать строение $A$ - оно совпадает со строением $B$.
Почитайте книжки - там много всего.

[arseniiv]

Я вот что-то не вижу здесь просто описываемого изоморфизма (если только перечислением, во что переходит каждый элемент). Вот изоморфизм между $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_5$ и $\mathbb Z_{10}$ выглядит довольно просто: $\varphi((a, b)) = 5a + b$ или другой $a + 2b$ (если не напутал).

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #502558 писал(а):

Я вот что-то не вижу здесь просто описываемого изоморфизма (если только перечислением, во что переходит каждый элемент). Вот изоморфизм между $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_5$ и $\mathbb Z_{10}$ выглядит довольно просто: $\varphi((a, b)) = 5a + b$ или другой $a + 2b$ (если не напутал).

Так и у меня примерно то же самое группы-то изоморфны.

[arseniiv]

Даже не спорю! Потому пример и привёл, что для групп по модулю изоморфизм можно привести в виде простой формулы [а для изоморфных им тех, которыми мы тут занимались — непонятно как]. Хотя вчера что-то сомнения пришли, что в случае просто циклических групп можно со степенями порождающих элементов то же проделать (и у меня всё меньше сомнений, так что я зря написал то, что выше), а не перечислять, во что переходит каждый. В общем, иногда лучше спать, чем говорить.

-- Сб ноя 12, 2011 22:59:31 --

(Вообще, в очередной раз убеждаюсь, что иногда лучше вообще ничего не писать, чем пытаться написать что-то со всей возможной точностью, когда хочется указать, что не сел в лужу, а только ногой наступил.)

[bot]

arseniiv в сообщении #502891 писал(а):

непонятно как

Почему непонятно?
$a^k\rightarrow a^{2k}\cdot a^{5k}$
Здесь точка вместо запятой со скобками.

[Sonic86]

(Оффтоп)

bot в сообщении #503084 писал(а):

Почему непонятно?
$a^k\rightarrow a^{2k}\cdot a^{5k}$
Здесь точка вместо запятой со скобками.

Ааа!!! ТС нахаляву получила решение! А я так старался

[bot]

(Оффтоп)

4-я страница идёт, а где ТС? Вы уверены, что она заметила бы, если бы Вы не выступили? Это во вторых. А в-первых - меня спровоцировали.

[Sonic86]

(Оффтоп)

bot в сообщении #503105 писал(а):

4-я страница идёт, а где ТС?

Боюсь, она не вернется На самом интересном месте ушла.

bot в сообщении #503105 писал(а):

Вы уверены, что она заметила бы, если бы Вы не выступили?

Да, действительно, похоже, что я плохой психолог

[jrock]

Sonic86 в сообщении #502455 писал(а):

INGELRII в сообщении #502449 писал(а):

Так ТС самостоятельно его записала. Кроме того, оно выполняется очевидно. Ну да, просчет конечно у меня, признаю. Надо было все же указать.

А, понятно, я просто думал, что Вы в общем виде выписали условие.

Lil в сообщении #502452 писал(а):

Вы хотите сказать, что должно быть, например, так: $\varphi ((b^0,c^0) \cdot (b^0,c^1)) = \varphi (b^0,c^0) \cdot \varphi(b^0,c^0)=(a^0, a^2)$? Или нет?

Первое равенство вообще неверно. То, что я от Вас хотел, то в точности и написал. 2-е равенство тоже неверно.

Вы про изоморфизмы читали? Почитайте примеры. Что такое "гомоморфизм" знаете. Если нет, то нужно тоже прочесть, иначе не поймем ничего.

Простой пример: изоморфизм $\varphi : \langle \mathbb{R}_+;\cdot \rangle \to \langle \mathbb{R};+ \rangle$, задаваемый отображением $\varphi (x) = \ln x$.
1. Проверяем гомоморфность: $\varphi (x \cdot y) = \ln (xy) = \ln x + \ln y = \varphi (x) + \varphi (y)$.
2. Проверяем биективность: $\ln x$ возрастает и сюръективна на указанных множествах, значит она биективна.
Смысл такой: сидим мы в $\langle \mathbb{R}_+;\cdot \rangle$ и надо нам там что-то перемножить. Например, надо подсчитать $X=0,52 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot e^5$. А умножаем мы плохо, с трудом. Зато отлично складываем, без ошибок, поскольку это проще. Тогда, если мы умеем считать логарифмы и - обратно - потенцировать, то мы можем взять $\ln X = \ln (0,52) + \ln ( \pi ) + \ln ( \sqrt{2} ) + \ln ( e^5)$ вычислить все логарифмы и просто сложить (а не умножать!) и потом оттуда найти $X$. Т.е. мы можем вычисления переносить в другую группу и обратно, куда нам нравится. Или если надо проанализировать группу $A$, а $A \cong B$, а строение $B$ мы знаем, то тогда не надо изучать строение $A$ - оно совпадает со строением $B$.
Почитайте книжки - там много всего.

Докажите все тоже самое через теорему о гомоморфизме пожалуйста. И придумайте мне пример что бы я похожее сделал