Обозначение (факторчто-то)

[alcoholist]

Nimza в сообщении #502584 писал(а):

Из положительности определителя и необнуления дифференциала следует.

Второй аргумент со сферы. Вопрос всё тот же! Я не особо понимаю смысла приравнивания $\mathcal{H} = (\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1} ) / \mathbb{Z}_{2} $. Точнее понимаю, что это описывает тождественность $H_{s,w}$ и $H_{-s,-w}$, но что строго это означает? Из каких элементов состоит это правое множество?

я Вас не понимаю:(

[Nimza]

alcoholist в сообщении #502586 писал(а):

я Вас не понимаю:(

печально... Вы слишком быстро ответили, я не успел ошибку исправить я понял с Ваших слов, что $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1} / \mathbb{Z}_{2}$ гомеоморфно $[0,+\infty) \times \mathbb{R}R^{n-1}$. Это конечно хорошо, но я бы хотел понять структуру самого $\mathcal{H} = \mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1} / \mathbb{Z}_{2}$ (иначе мне просто не понять почему они гомеоморфны!)

Если я правильно понял Sonic86, для этого нужно построить вложение $\mathbb{Z}_{2}$ в это множество $\mathcal{H}$

[bnovikov]

Насколько я понял, дело обстоит так. Каждая гиперповерхность из $\mathcal{H}$ почти однозначно определяется парой $(s,w)$; "почти" в том смысле, что $H_{-s,-w}=H_{s,w}$. Если бы этого "почти" не было, то можно было бы считать, что $\mathcal{H} = \mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}$. Чтобы получить правильное равенство, мы рассматриваем действие группы $\mathbb{Z}_{2}$ на $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}$: $(s,w)\to (-s,-w)$.
Тогда требуемое равенство $\mathcal{H} = (\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1} ) / \mathbb{Z}_{2}$ означает что $\mathcal{H}$ равно (или изоморфно, или биективно) множеству орбит этого действия.

---------------------------------------------
Извините, забыл добавить: если группа $G$ действует на множестве $X$, то через $X/G$ часто обозначают множество орбит этого действия (что здесь и делается).

[Nimza]

bnovikov,
спасибо, да, дело обстоит так. Кажется я близок к пониманию!
Почитав Википедию, я так понял Ваше сообщение:
для каждого элемента $(s,w) \in \mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}$ полагаем $g_{1}(s,w) := (s,w)$ и $g_{2}(s,w) := (-s,-w)$, где $\mathbb{Z}_{2} = \{g_{1},g_{2}\}$. Тогда орбитой элемента $(s,w)$ при действии $\mathbb{Z}_{2}$ будет пара $\{ (s,w), (-s,-w) \}$. А множество всех таких пар и образует множество $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}$ / \mathbb{Z}_2. Верно?

[bnovikov]

Да, верно.

[Nimza]

Огромное спасибо!

[bnovikov]

Желаю успехов.