И что, эта другая "масса" вовсе не масса?
Вопрос о том, что масса, а что не масса - это вопрос о словах. В природе нет никаких ярлычков со словами на физических величинах и их комбинациях, как в зоопарке на клетках зверей.
Есть величина, которую физикам удобно называть массой.
И в ИСО относительно неподвижного тела у тела с релятивистской скоростью относительно неподвижного тела не меняется ни инерционная масса, ни гравитационная масса?
Можно принимать две точки зрения:
1. Масса не меняется, меняется закон, в котором она участвует (например, закон движения по инерции, или закон гравитационного притяжения).
2. Масса меняется, не меняется закон.
Физикам удобнее принимать 1 точку зрения. Потому что даже если "позволить" массе меняться, "спасти" закон, сделать его не меняющимся, очень трудно, в разумном виде - невозможно. Так что 2 вариант просто отпадает. А тогда 2 вариант выгоден удобством рассуждений, по сравнению с вариантом
2'. Масса меняется, закон тоже меняется.