Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?

[Nobody85]

Можно ли обобщить знаменитую гипотезу Пуанкаре на случай многосвязных замкнутых ориентируемых n-мерных многообразий (т. е. что любое такое n-мерное многообразие с k "дырками" гомеоморфно n-мерной сфере с k ручками)?

[Padawan]

Nobody85 в сообщении #500557 писал(а):

Можно ли обобщить знаменитую гипотезу Пуанкаре на случай многосвязных замкнутых ориентируемых n-мерных многообразий (т. е. что любое такое n-мерное многообразие с k "дырками" гомеоморфно n-мерной сфере с k ручками)?

А что значит с $k$-дырками? Какая-то группа (гомологическая, гомотопическая) обладает каким-то свойством? Какая группа, каким свойством?

-- Пн ноя 07, 2011 16:33:14 --

Гипотезу Пуанкаре можно сформулировать так: компактное трёхмерное многообразие без края $M$, фундаментальный группа которого тривиальна $\pi_1(M)=0$, гомеоморфно трёхмерной сфере.

[Nobody85]

Я думаю, для замкнутых n-мерных многообразий тоже можно ввести понятие рода, например как максимального числа замкнутых односвязных (n-1)-мерных многообразий, по которым можно разрезать данное многообразие, не разделяя его на отдельные части (подобно тому, как понятие рода иногда вводится для двумерных многообразий). Извините, если я пишу бред. Я не слишком силён в топологии, просто вопрос об обобщении гипотезы Пуанкаре на случай многосвязных многообразий меня очень заинтересовал. У кого какие будут соображения по этому поводу? Да, и ещё: я имею в виду обобщённую гипотезу Пуанкаре, для многообразий размерности n.

[Kallikanzarid]

Nobody85
Пусть $X$ - CW-комплекс, $X^{k}$ - его $k$-остов. Тогда $\pi_k(X) = \pi_k(X^{k+1+p})$ для любого $p \geq 0$. Поэтому фундаментальная группа вообще не зависит от того, каким образом вы приклеиваете клетки размерности 3 и выше.

[alcoholist]

Nobody85 в сообщении #500630 писал(а):

Я не слишком силён в топологии, просто вопрос об обобщении гипотезы Пуанкаре на случай многосвязных многообразий меня очень заинтересовал.

Полистайие популярную книжу С. П. Новикова Алгебраическая топология, чтение занимательное

[Kallikanzarid]

alcoholist
ИМХО, лучше Хатчера :)

[nestoklon]

Nobody85 в сообщении #500557 писал(а):

Можно ли обобщить знаменитую гипотезу Пуанкаре на...

Я вообще в топологии не очень, но разве Гипотеза Тёрстона которая собственно и была доказана не является таким обобщением? Или вы хотите именно произвольные размерности? Я где-то читал что все эти построения в других размерностях проще. Трёхмерный случай самый запутанный -- слишком мало измерений чтобы распутывать..

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #501434 писал(а):

ИМХО, лучше Хатчера :)

Это -- чтение для профессионалов

nestoklon в сообщении #501435 писал(а):

Я вообще в топологии не очень, но разве Гипотеза Тёрстона которая собственно и была доказана не является таким обобщением?

Это обобщение не на размерность, а на гомотопический тип...

Есть попытки обобщить гипотезу о геометризации на размерность 4

nestoklon в сообщении #501435 писал(а):

Я где-то читал что все эти построения в других размерностях проще

Гипотеза Пуанкаре в размерностях выше 4 доказана Смейлом в 60-х (хирургия -- см. "Теорема об h-кобордизме" Милнора), а в размерности 4 -- Дональдсоном (гибкие ручки и прочая экзотика)

[scwec]

(Оффтоп)

Эту книгу не читал, но хочу высказать свое объективное мнение. Высказал. Не худо бы классифицировать чего-то.

-- Пт ноя 11, 2011 20:45:19 --

Неужели Вы читали теорему об h-кобордизме? если да то я приветствую Вас.

[alcoholist]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #502499 писал(а):

Неужели Вы читали теорему об h-кобордизме? если да то я приветствую Вас.

Книга не в единственном экземпляре вышла... задохнетесь поздравлять:)

[scwec]

Для alcoholist: Вы зря обиделись, я хотел сказать, что такие вопросы не место для обсуждения здесь.

[alcoholist]

scwec в сообщении #502522 писал(а):

такие вопросы не место для обсуждения

расстроился только русский язык, Вы уж извините:)

[scwec]

Бедный Русский язык, h-Кобордизма он явно не выдержит.
С другой стороны, Гипотеза Пуанкаре - ненвыносимая нагрузка.
Соглаcны?

[alcoholist]

(Оффтоп)

scwec
не оффтопьте

[scwec]

(Оффтоп)

Согласен,однако, гипотеза Пуанкаре здесь, конечно, не при чем.