2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение11.11.2011, 20:48 
Аватара пользователя
scwec в сообщении #502549 писал(а):
Согласен,однако, гипотеза Пуанкаре здесь, конечно, не при чем.



Она в стартовом сообщении топика

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение11.11.2011, 21:07 
Ну что же, гипотеза Пуанкаре, уже бывшая, теорема Терстона - уже доказана.
Хоть стартопик, хоть НЕ стартопик, дело сделано.
Не надо упираться. Терстон много чего придумал, чего и Вам желаю.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение11.11.2011, 22:30 
Аватара пользователя
scwec

(Оффтоп)

Не будьте дурнем:(

Был вопрос, вернее, заявка на вопрос... я, в меру сил, дал информацию... а Вы троллили

Тут и аксиоматику Евклида обсуждают, и теорему Ферма (доказанную) -- чего и Вам не пожелаю

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение12.11.2011, 04:39 
alcoholist в сообщении #502495 писал(а):
Это -- чтение для профессионалов

Не, вот лекции Постникова по основам теории гомотопий - действительно чтение для профессионалов, я сдался на дополнении к лекции 1.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение12.11.2011, 10:06 

(Оффтоп)

Alcoholist, в свое время на физтехе, где традиционно (и несправедливо) относились к мехматянам как к дурачкам, придумали анекдот примерно такого содержания: а тебе, Вовочка, если не будешь есть кашу, перед сном будем читать страшную сказочку про ашкобордизм.
Хотя, если честно, лучшей книги по дифференциальной топологии найти трудно. Разве что Теория Морса того же Дж.Милнора.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение18.11.2011, 18:52 
Хоть и не гипотеза Пуанкаре - пусть $x\in{R^n}$ и гладкая функция $V(0)=0, V(x)>0$ при $x\ne{0}$. И пусть $V$ - однородная функция степени $k>0$ и $dV(x)\ne{0}$ при $x\ne{0}$.
Короче, поверхность уровня такой функции гомеоморфна сфере $S^{n-1}$.Верно или нет?

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение18.11.2011, 19:10 
Аватара пользователя
scwec в сообщении #505219 писал(а):
$dV(x)\ne{0}$


Это условие излишне. По-видимому хватит непрерывности.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение18.11.2011, 19:34 
Согласен, как говорится, кашу маслом не испортишь. А все таки, каков ответ?

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение18.11.2011, 20:27 
scwec
$x \mapsto x^3$.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 02:19 
Аватара пользователя
Kallikanzarid в сообщении #505254 писал(а):
$x \mapsto x^3$.


Нарушается условие $V(x)>0$ при $x\neq 0$.

Предлагается следующее рассуждение. Пусть $x\in S^{n-1}\subset \mathbb R^n$, $|x|=1$. Тогда найдется единственное $\alpha(x)>0$, такое что $V(\alpha(x) x)=1$. Рассмотрим отображение $x\mapsto \alpha(x) x$. По теореме о неявной функции оно непрерывно. Кроме того, оно биекция на свой образ. Поскольку $S^{n-1}$ компактно, это отображение будет гомеоморфизмом как раз между $S^{n-1}$ и линией уровня $\{x\colon V(x)=1\}$.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 14:56 
Очень естественное доказательство. А теперь давайте его развалим, убрав из условия требование однородности $V$.
Поверхность уровня $V$ все равно $S^{n-1}$?

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 15:17 
Аватара пользователя
Ну если $V$ просто непрерывная, то любое замкнутое множество может быть ее множеством уровня. По крайней мере если оно не содержит $0$.

Если $V$ гладкая, то таких множеств тоже должно быть достаточно много.

Если $V$ вместо однородности строго монотонна на лучах, проходящих через 0, то вроде бы опять работает теорема о неявной функции (хотя здесь надо уже аккуратнее). Если монотонность нестрогая, то у $V$ могут быть участки, на которых она постоянна, и линия уровня будет даже не подходящей размерности.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 17:33 
Пожалуй, можно предположить, что если $x\in{\mathbb{R}^n}$,$V(x)$ - аналитическая функция,( $V(0)=0$, $V(x)>0,dV(x)\ne{0}$ при $x\ne0$),разложение которой в нуле начинается с положительно-определенной формы, то связные компоненты поверхностей уровня гомеоморфны $S^{n-1}$.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 17:55 
Аватара пользователя
Тоже похоже на правду, но я не специалист в дифференциальной топологии. Не очень понятно, зачем аналитичность.

В окрестности нуля это следует из гладкости, можно просто по лемме Морса ввести такие координаты $y$, что функция будет в них $|y|^2$.

Т. е. линии уровня $\{x\colon V(x)=a\}$ будут диффеоморфны сферам при малых $a$. Теперь применим теорему отсюда

http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theo ... orse_lemma

(первую из двух). Она говорит, что если не встретится новых критических точек (которых нет из условия $dV(x)\neq 0$, при $x\neq 0$), то поверхность уровня останется диффеоморфной сфере.

 
 
 
 Re: Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?
Сообщение19.11.2011, 18:31 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #505435 писал(а):
Она говорит, что если не встретится новых критических точек (которых нет из условия $dV(x)\neq 0$, при $x\neq 0$), то поверхность уровня останется диффеоморфной сфере.

Не совсем так. Лемма Морса требует, чтобы прообраз интервала при отображении был компактен. Легко нарисовать картинку расположения линий уровня в двумерном случае, когда с ростом уровня окружность преобразуется в некомпактную кривую.
Иначе говоря, если компактифицировать плоскость, то морсовские перестройки могут происходить через критическую точку на бесконечности.
В связи с этим, вспоминаю задачу, обсуждавшуюся на кокой-то студенческой олимпиаде: если гладкая функция двух переменных имеет единственную критическую точку и эта точка - минимум, то верно ли, что функция ограничена снизу. Ответ- неверно.
Представляется, что за счет этого эффекта можно добиваться произвольного гомотопического типа поверхности уровня в многомерной ситуации.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group