Как разложить циклическую группу порядка 10 по подгруппам?

[Lil]

Применяя умножение, удалось найти такие циклические подгруппы:

$H_1=\{e\}$
$H_2=\{e,a^5\}$
$H_3=\{e,a^2,a^4,a^6,a^8\}$

Это же верно?
Всем большое спасибо!

[INGELRII]

Не совсем понял: сама группа $G$ входит в множество своих подгрупп? Я бы сказал, что да. Это так?

[Lil]

Точно! Для группы
$G=\{e,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8,a^9\}$

Подгруппы такие:
$H_1=\{e\}$
$H_2=\{e,a^5\}$
$H_3=\{e,a^2,a^4,a^6,a^8\}$
$H_4=\{e,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8,a^9\}$

Спасибо!

[Sonic86]

Ну вот. Теперь осталось разложить $G$ по подгруппам. Подгрупп у нас 4, 2 тривиальны, значит 2 нетривиальны. Значит нетривиальным разложением может быть только $G \cong H_2 \times H_3$. Вам осталось построить изоморфизм между $H_2 \times H_3$ и $G$. Сделайте это. Для начала задайте группы $H_2, H_3$ как циклические, а потом стройте изоморфизм.

[Lil]

Циклическое задание группы $G$:
$G: <a|a^{10}=e>$

Соответственно:
$H_2: <a|a^2=e>$
$H_3: <a|a^5=e>$

Правильно?
Или нужно как-то по-другому задать?

[Sonic86]

Ну вообще-то буковка $a$ уже занята, поэтому для образующих $H_2,H_3$ лучше ввести новые обозначения - $b,c$ (и писать, к примеру $H_2= \langle b|b^2=e \rangle$ (где $b=a^5$), для $H_3$ аналогично). Теперь постройте группу $H_2 \times H_3$ и изоморфизм между ней и $G$.
upd: скобочки поменял

[arseniiv]

(Оффтоп)

А я бы скобочки-то на $\langle \rangle$ поменял.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ну ладно, сейчас перепишу

[Lil]

после замены букв:
$H_2= \langle b|b^2=e \rangle$ (где $b=a^5$),
$H_3= \langle c|c^5=e \rangle$ (где $c=a^2$),

Группа $H_2 \times H_3$:
$H_2 \times H_3=\langle b \cup c|b^2\cup c^5\rangle$

правильно?

[Sonic86]

Lil в сообщении #502211 писал(а):

Группа $H_2 \times H_3$:
$H_2 \times H_3=\langle b \cup c|b^2\cup c^5\rangle$

Неее . Вы знаете, что такое "прямое произведение групп"? Надо выписать его (ну просто для формальности, чтобы Вы понимали). Если $A = \{ a_i\},B = \{ b_j\}$ - группы, то их прямое произведение - это множество пар $\{ a_i ,b_j\}$ с операцией покомпонентного умножения пар (так что операции в $A,B$ могут быть даже разные, но у нас одна операция - просто умножение): $(a_i, b_j) \cdot (a_k, b_l) = (a_i \cdot a_k, b_j \cdot b_l)$. Прямое произведение описывается почти в любой книжке по группам.
Выпишите теперь $H_2 \times H_3$. Вычислите порядок $H_2 \times H_3$, сравните его с порядком $G$.

(Оффтоп)

я спать пошел

[Lil]

$H_2= \langle b|b^2=e \rangle$ (где $b=a^5$),
$H_2= \{b^0,b^1 \}$

$H_3= \langle c|c^5=e \rangle$ (где $c=a^2$),
$H_3= \{c^0,c^1,c^2,c^3,c^4\}$

Группа $H_2 \times H_3$:
$H_2 \times H_3=\{(b^0,c^0),(b^1,c^0),(b^0,c^1),(b^1,c^1),(b^0,c^2),(b^1,c^2),(b^0,c^3),(b^1,c^3),(b^0,c^4),(b^1,c^4)\}$

Правильно?

Не могу сообразить как привести к виду $(a_i \cdot a_k, b_j \cdot b_l)$
очень много пар получается

[Sonic86]

Lil в сообщении #502256 писал(а):

Группа $H_2 \times H_3$:
$H_2 \times H_3=\{(b^0,c^0),(b^1,c^0),(b^0,c^1),(b^1,c^1),(b^0,c^2),(b^1,c^2),(b^0,c^3),(b^1,c^3),(b^0,c^4),(b^1,c^4)\}$

Правильно. Только можно описывать группу в общем виде, чтобы не писать длинное перечисление: $H_2 \times H_3 \{ (b^i;c^j): i=0,1; j=1,...,4\}$. Если бы была группа порядка 1000, замучились бы писать.

Кстати, проверка: вычислите $(b;c^2) \cdot (b;c^4)$ в $H_2 \times H_3$. И, кстати, еще проверка, чтоб Вы запомнили хорошо: выпишите все подгруппы для циклической группы порядка 12, без доказательства. Вам же потом в жизни понятнее будет.

Lil в сообщении #502256 писал(а):

Не могу сообразить как привести к виду $(a_i \cdot a_k, b_j \cdot b_l)$
очень много пар получается

зачем? Не надо. Я просто описал прямое произведение, чтобы Вы поняли. Вы вообще о нем должны были в книжке прочитать.

Теперь устанавливайте изоморфизм между $G$ и $H_2 \times H_3$.

[Lil]

У групп, чтобы был изоморфизм, должна быть одинаковая мощность, правильно? Она же, по сути, порядок группы. У $G$ это 10. У $H_2 \cdot H_3$ тоже 10. Одно условие готово.

Дальше: если существует биекция между $G$ и $H_2 \cdot H_3$, обладающая свойcтвом, что для любых $a$ из $G$, например $a^1, a^2$,$ f(a^1 \cdot a^2)=f(a^1)of(a^2)$ (разные операции), то тогда это изоморфы.

Насколько я понимаю, биекция - это функция, которая переводит группу в равномощную. Но со свойствами мне не удалось разобраться

[INGELRII]

Сейчас меня закидают гнилыми помидорами, но я рискну высказаться по-простому. Это взаимно-однозначное отображение. То есть каждому элементу из првого множества соответствует ровно один элемент из второго. И каждому элементу из второго - ровно один элемент из первого.

Конкретно в вашем случае - просто покажите, что:

1)любой элемент из $G$ разлагается в произведение элементов соответственно из $H_2$ и $H_3$, причем единственным образом;

2)произведение любых элементов из $H_2$ и $H_3$ будет являться неким элементом из $G$ (оно, конечно, совсем очевидно, но для порядку уж докажите).

Эти два пункта и будут означать, что отображение наше - биекция.

[Sonic86]

Lil в сообщении #502412 писал(а):

Насколько я понимаю, биекция - это функция, которая переводит группу в равномощную.

Биекция, это взаимно-однозначное соответствие между множествами (в частности - группами)

Lil в сообщении #502412 писал(а):

Дальше: если существует биекция между $G$ и $H_2 \cdot H_3$, обладающая свойcтвом, что для любых $a$ из $G$, например $a^1, a^2$,$ f(a^1 \cdot a^2)=f(a^1)of(a^2)$ (разные операции), то тогда это изоморфы.

Если я правильно понял, Вы хотите сказать, что если группы имеют одинаковую мощность, то они изоморфны. Это неверно в общем случае. Если группы циклические, то это верно, но Вам нужно построить изоморфизм явно, чтобы Вы понимали. Изоморфизм - это биективный гомоморфизм, т.е. надо задать биективное отображение $\varphi : H_2 \times H_3 \to G$ такое, что $\varphi ((b^{i_1},c^{j_1}) \cdot (b^{i_2},c^{j_2})) = \varphi (b^{i_1},c^{j_1}) \cdot \varphi(b^{i_2},c^{j_2})$. Стройте!

-- Пт ноя 11, 2011 11:51:18 --

INGELRII в сообщении #502425 писал(а):

Сейчас меня закидают гнилыми помидорами, но я рискну высказаться по-простому. Это взаимно-однозначное отображение. То есть каждому элементу из првого множества соответствует ровно один элемент из второго. И каждому элементу из второго - ровно один элемент из первого.

Конкретно в вашем случае - просто покажите, что:

1)любой элемент из $G$ разлагается в произведение элементов соответственно из $H_2$ и $H_3$, причем единственным образом;

2)произведение любых элементов из $H_2$ и $H_3$ будет являться неким элементом из $G$ (оно, конечно, совсем очевидно, но для порядку уж докажите).

Эти два пункта и будут означать, что отображение наше - биекция.

Что-то я не вижу здесь условия гомоморфности отображения.