Как разложить циклическую группу порядка 10 по подгруппам?

[Lil]

Цитата:

Если совсем трудно, давайте попробуем заново: докажите по критерию подгруппы, что все множества $\{ a^{ik} \}$ для некоторого $k|n$ и всех $i=1,...,\frac{n}{k}$ дают подгруппу циклической группы $G = \{ a^i\}$. И просто примените этот критерий к Вашей группе, а то мы так далеко не уедем.

Критерий подгруппы: произведение двух элементов подгруппы принадлежит подгруппе и подгруппа содержит вместе со всяким элементом обратный ему. Дальше не понимаю( Опять таки, по каким критериям перебирать значения j? Если взять классы вычетов, то (a^1)^2=4; (a^2)^2=9? И что дальше?

[Sonic86]

(Оффтоп)

буквы в формулах надо писать английские

Lil в сообщении #501706 писал(а):

Критерий подгруппы: произведение двух элементов подгруппы принадлежит подгруппе и подгруппа содержит вместе со всяким элементом обратный ему. Дальше не понимаю

Просто проверяйте в лоб. Выпишите 2 элемента описанной подгруппы, перемножьте и покажите, что произведение лежит в той же подгруппе.

Lil в сообщении #501706 писал(а):

Опять таки, по каким критериям перебирать значения j? Если взять классы вычетов, то $(a^1)^2=4; (a^2)^2=9$? И что дальше?

Неее Давайте, раз уже начали, работать в $G = \{ a^i\}$.
(для $\mathbb{Z}^+$ на самом деле операция умножения в $G$ соответствует сложению в $\mathbb{Z}^+$: $a^k \cdot a^l = a^{k+l} \leftrightarrow \bar k + \bar l = \overline{k+l}$. Образующий элемент $a=1$ в $\mathbb{Z}^+$, а возведению в степень $m$ соответствует умножение $a=1$ на $m$. Если же Вы хотите циклическую группу вычетов порядка $10$ с операцией умножения, то Вам надо взять $(\mathbb{Z}_{11} \setminus \{ \bar 0\})^{\times}$ - группу без нуля по умножению по модулю $11$).

[Lil]

Цитата:

Если совсем трудно, давайте попробуем заново: докажите по критерию подгруппы, что все множества $\{ a^{ik} \}$ для некоторого $k|n$ и всех $i=1,...,\frac{n}{k}$ дают подгруппу циклической группы $G = \{ a^i\}$. И просто примените этот критерий к Вашей группе, а то мы так далеко не уедем.

получились такие подгруппы:
Для нашей группы n=10, k=10,5,2,1,
k=10, i=1, $H_1=\{e,a^{10}\}$
k=5, i=1,2, $H_2=\{e,a^5,a^{10}\}$
k=2, i=1,2,5, $H_3=\{e,a^2,a^4,a^{10}\}$
k=1, i=1,2,5,10, $H_4=\{e,a^1,a^2,a^5,a^{10}\}$

как быть с обратными элементами?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ей-богу, не пишите руками , есть же кнопка! У вас там долларов нет, получается отображение ерунды.

Присмотритесь внимательно к $a^{10}$. Группа циклической не зря называется! Да и ещё последние две записи не группы: $a^2 a^4 = a^6$, а где ж оно?

[Lil]

Присмотрелась - $a^{10}$ - не элемент группы G,

Но то тогда $G = \{a^0,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8,a^9\}$ тоже не группа ибо $ a^5a^6=a^{11}$, а его нет.

Как тогда понять, что такое циклическая группа порядка 10?
(наверное, с этого нужно было начинать)

[arseniiv]

Lil в сообщении #501774 писал(а):

Присмотрелась - $a^{10}$ - не элемент группы G

Почему же? Элемент-элемент! Только вот какой?

Lil в сообщении #501774 писал(а):

Как тогда понять, что такое циклическая группа порядка 10?
(наверное, с этого нужно было начинать)

Группа порядка $n$ — группа, содержащая ровно $n$ элементов.
Циклическая группа — группа, порождаемая ровно одним элементом $a$. [Sonic86 это уже упоминал.] Т. е. все элементы такой группы можно представить как произведения, состоящие только из $a$ и $a^{-1}$.
А кто такая тогда циклическая группа порядка 10?

[Lil]

Циклическая группа порядка 10 - это группа, содержащая 10 элементов, порождаемая одним элементом $a$, и все ее элементы можно представить как произведения, состоящие только из $a$ и $a^{-1}$
То бишь,элемент $a^5$ можно представить как $a^5 = a^6a^{-1}$, или $a^5 = a^4a^1$

По поводу $a^{10}$ вижу лишь следующее:
$a^0a^{10}=a^{10}$
$a^1a^9=a^{10}$
...
$a^5a^5=a^{10}$
...
$a^9a^1=a^{10}$
$a^{10}a^0=a^{10}$

$a^{11}a^{-1}=a^{10}$

как же на него еще посмотреть?..

[arseniiv]

Вы уже хорошо посмотрели!

Вот у нас десять элементов есть, обозначенные как $e = a^0; a^1; a^2; \ldots; a^9$. Остальные степени, значит, каждая, равны какому-то из них. Попробуйте найти, какому из них равно $a^{10}$. (К слову, я даже сам забыл, как показать, что он равен тому из них, о котором я думаю. Но это должно быть просто!)

[ИСН]

(Оффтоп)

Поиски элемента напомнили анекдот про мужика и царя, кончающийся словами:

Цитата:

— Видишь, только мы двое в шапках - кто-нибудь из нас да царь.

[Lil]

Цитата:

Попробуйте найти, какому из них равно $a^{10}$.

В голову приходит только $a^{10} = a^0 = e$
но тогда получается, что $a$ в любой степени равно $e$

[arseniiv]

Lil в сообщении #501843 писал(а):

В голову приходит только $a^{10} = a^0 = e$

Это верно, но лучше было бы, конечно, доказать (наверно, не в такую позднюю ночь, а завтра). Но

Lil в сообщении #501843 писал(а):

тогда получается, что $a$ в любой степени равно $e$

вот это неверно. $a^{20} = a^{-40} = a^{327690} = e$, а степени, не кратные десяти, не равны $e$. Иначе элемент в группе был только один, как раз $e$. А у нас их 10.

А теперь вспомним, что $a^5 a^5 = a^{10}$. Ну-ка, какую подгруппу порядка 2 теперь можно назвать?

-- Чт ноя 10, 2011 03:09:06 --

Теперь вы можете в нашей группе находить произведение любых двух элементов, кстати! Точнее, показывать, какому из $a^0, \ldots, a^9$ оно равно.

[Lil]

Цитата:

Ну-ка, какую подгруппу порядка 2 теперь можно назвать?

$\{e,a^5\}$ она?
и он же $a^5$ и есть себе обратным, ибо $a^5a^5=a^{10}, a^{10}=e$

Цитата:

Теперь вы можете в нашей группе находить произведение любых двух элементов, кстати! Точнее, показывать, какому из $a^0, \ldots, a^9$ оно равно.

$a^6a^7=a^3$,
$a^5a^7=a^2$,
$a^8a^9=a^7$
так я понимаю?

[arseniiv]

Lil в сообщении #501861 писал(а):

$\{e,a^5\}$ она?
и он же $a^5$ и есть себе обратным, ибо $a^5a^5=a^{10}, a^{10}=e$

Lil в сообщении #501861 писал(а):

$a^6a^7=a^3$,
$a^5a^7=a^2$,
$a^8a^9=a^7$
так я понимаю?

Всё так есть.

Когда будет желание, всё-таки докажите, что $a^{10}$ равно именно $e$. Всё-таки на этом все рассуждения основались здесь. А потом это легко обобщается на любой порядок $n$ циклической группы, и весьма полезный факт.

-- Чт ноя 10, 2011 03:34:40 --

Но мы, конечно, не нашли всех подгрупп. Но теперь вы, вооружившись умножением, без труда отыщете остальные!

[Lil]

а по какому принципу вычислить подгруппу из 5ти элементов?
или как доказать, что она не существует?

Ладно, буду тренироваться.
Большое спасибо, вопросы утром)

[arseniiv]

В принципе, все циклические подгруппы можно здесь перебором просмотреть. Элементов всего 10, притом мы уже нашли, что $e$ генерирует подгруппу из одного себя порядка 1, $a^5$ даёт подгруппу порядка 2, т. е. фактически проверить осталось 8 (это степени 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9). Просто умножайте их друг на друга: $a^3, a^3 a^3, a^3 a^3 a^3, \ldots$ (Достаточно просмотреть не более 10 произведений, т. к. «лишние» элементы появиться не могут.) Какая-то циклическая группа всяко получится! Так вы найдёте ещё 8 групп, но многие из них могут совпадать. Это не страшно, но вы тогда сможете сказать, циклические подгруппы каких порядков есть, а каких нет. Всё-таки группа порядка 5 будет. А группы порядка 7 не будет, но это всё ещё и теорема, о которой говорил Sonic86, предсказала. Но проверить, конечно, не мешает.

В общем, удачи вам! А я спать пойду.