В принципе, все циклические подгруппы можно здесь перебором просмотреть. Элементов всего 10, притом мы уже нашли, что
генерирует подгруппу из одного себя порядка 1,
даёт подгруппу порядка 2, т. е. фактически проверить осталось 8 (это степени 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9). Просто умножайте их друг на друга:
(Достаточно просмотреть не более 10 произведений, т. к. «лишние» элементы появиться не могут.) Какая-то циклическая группа всяко получится! Так вы найдёте ещё 8 групп, но многие из них могут совпадать. Это не страшно, но вы тогда сможете сказать, циклические подгруппы каких порядков есть, а каких нет. Всё-таки группа порядка 5 будет. А группы порядка 7 не будет, но это всё ещё и теорема, о которой говорил
Sonic86, предсказала. Но проверить, конечно, не мешает.
В общем, удачи вам! А я спать пойду.