Доказать, что $Y=A(\mathfrak{n})$

[xmaister]

Здравствуйте! Помогите доказать, что если бесконечное пространство $Y$, является непрерывным образом пространства $A(\mathfrak{m})$ при замкнутом отображении, то существует такое кардинальное число $\mathfrak{n}$, что $Y=A(\mathfrak{n})$.
$A(\mathfrak{m})$- пространство, состоящее из множества $X$ мощности $\mathfrak{m}$ и семейства открытых подмножеств, каждое из которых либо не содержит некоторую точку $x_0\in X$ либо имеет конечное дополнение.

Я понимаю, что топология на $Y$ порождается семейством замкнутых множеств $\mathcal{E}_{Y}=\{f(V)|V-\text{замкнуто в}A(\mathfrak{m})\}$, но это не значит, что если $B\subset Y$- конечно и не содержет $f(x_0)$, то оно замкнуто в $Y$. Дальше ступор.

Благодарю.

[Someone]

Попробуйте доказать, что Ваше $B$ является образом конечного подмножества $X$, не содержащего $x_0$.

[xmaister]

Наверное обосновал весьма криво...
Пусть $B$- конечное и $B=\bigcup\limits_{y\in B}\{y\}$. Рассмотрим семейство $\mathcal{A}=\left\{f^{-1}\left(\{y\}\right)|y\in B\right\}$. Каждому множеству $A\in\mathcal{A}$ поставим в соотвествие $g(A)\in A$. Это возможно в силу аксиомы выбора. Тогда имеем отображение $g(\mathcal{A})=C\subset X$. Отсюда $C=\bigcup\limits_{x\in C}\{x\}$, $f(C)=B$.

[Someone]

О, боже! И аксиому выбора приплели. Она-то тут зачем? Для выбора конечного числа точек аксиома выбора не нужна.

Можно было бы сказать проще: для каждой точки $y\in B$ выберем точку $x_y\in f^{-1}y(\neq\varnothing)$, и пусть $C=\{x_y:y\in B\}$.

[xmaister]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #501372 писал(а):

Для выбора конечного числа точек аксиома выбора не нужна

Т.е. она нужна только для выбора более чем счётного числа точек?

[Someone]

xmaister в сообщении #501374 писал(а):

Someone в сообщении #501372 писал(а):

Для выбора конечного числа точек аксиома выбора не нужна

Т.е. она нужна только для выбора более чем счётного числа точек?

Она нужна для выбора из бесконечного семейства (непустых) множеств. У Вас же конечное семейство $\{f^{-1}y:y\in B\}$.