Многомерные расширения ТФКП

[g______d]

Kallikanzarid в сообщении #501291 писал(а):

Но как правило везде рассматривают именно эту группу (т.к. нас интересуют именно симметрии физических теорий).

Не всегда. Все-таки, в конформной теории поля используется бесконечномерность локальной группы конформных преобразований, и здесь и правда есть некая специфика двумерности (в старших размерность даже локальная группа будет конечномерной). Но мне (несмотря на фейл с одномерностью) кажется, что вряд ли метрика БМ настолько же содержательна. В последней конформные преобразования порождены диффеоморфизмами одной координаты

$$ (x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (f(x_1),x_2,x_3,x_4) $$

и то же по остальным переменным.

[Kallikanzarid]

g______d в сообщении #501297 писал(а):

Но мне (несмотря на фейл с одномерностью) кажется, что вряд ли метрика БМ настолько же содержательна.

Я совершенно не буду это оспаривать, у меня эта метрика уже в печенках сидит от ее постоянных упоминаний Time-ом во всех ветках про комплексные числа

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501291 писал(а):

Где это я такое писал?

Ну, тогда скажите сейчас, что же вы понимаете под конформными преобразованиями $\mathbb R^2$ и чем они отличаются от конформных преобразований двух метрических пространств, когда над $\mathbb R^2$ в одном случае задается евклидова, а в другом псевдоевклидова метрика? Или Вы считаете, что во всех трех случаях множество конформных преобразований, помимо всего прочего, сохранающих евклидовы или псевдоевклидовы углы во всех трех случаях одно и то же?

-- Вт ноя 08, 2011 21:49:42 --

g______d в сообщении #501297 писал(а):

Не всегда. Все-таки, в конформной теории поля используется бесконечномерность локальной группы конформных преобразований, и здесь и правда есть некая специфика двумерности (в старших размерность даже локальная группа будет конечномерной). Но мне (несмотря на фейл с одномерностью) кажется, что вряд ли метрика БМ настолько же содержательна. В последней конформные преобразования порождены диффеоморфизмами одной координаты

Так двумерное псевдоевклидово пространство является просто двумерным частным случаем БМ пространств и вся бесконечность "локальной группы конформных преобразований двумерной конформной теории поля" прямое следствие свойств БМ пространств произвольной натуральной размерности. Перейдите на псевдоевклидовой плоскости (или на псевдоримановой поверхности) к изотропным координатам связанным со световым конусом и на ней так же все конформные преобразования окажутся порожденными "диффеоморфизмами одной координаты" и "то же по второй координате".

-- Вт ноя 08, 2011 21:53:39 --

Kallikanzarid в сообщении #501300 писал(а):

у меня эта метрика уже в печенках сидит от ее постоянных упоминаний Time-ом во всех ветках про комплексные числа

Снова передергиваете, я о комплексных числах везде говорю исключительно в связи с поиском аналогичных им (вернее аналитическим функциям от них) физических и геометрических интерпретаций для плоскости двойной переменной и h-голоморфных функций от них. А в отношении последних, вы ни разу ничего содержательного так и не сказали. Ну, кроме бездоказательного, что все это бред..

[g______d]

Time в сообщении #501301 писал(а):

Так двумерное псевдоевклидово пространство является просто двумерным частным случаем БМ пространств и вся бесконечность "локальной группы конформных преобразований двумерной конформной теории поля" прямое следствие свойств БМ пространств произвольной натуральной размерности. Перейдите на псевдоевклидовой плоскости (или на псевдоримановой поверхности) к изотропным координатам связанным со световым конусом и на ней так же все конформные преобразования окажутся порожденными "диффеоморфизмами одной координаты" и "то же по второй координате".

О, а вот это интересное замечание. Т. е. Вы устанавливаете соответствие между голоморфными функциями и диффеоморфизмами? По причинам, схожим с ранее упомянутыми мной, это тоже довольно сомнительно.

-- 08.11.2011, 22:04 --

Я не просто так придирался к "неточностям" в определении аналитической функции. В случае комплексной переменной все и так знают нормальное определение. Но вот в случае двойной переменной Вы использовали тот же необоснованный аргумент (выражение через функцию переменных $h,\bar h$). Поэтому предлагаю Вам все-таки выписать математически строгое определение h-голоморфности.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501301 писал(а):

Ну, тогда скажите сейчас, что же вы понимаете под конформными преобразованиями $\mathbb R^2$ и чем они отличаются от конформных преобразований двух метрических пространств, когда над $\mathbb R^2$ в одном случае задается евклидова, а в другом псевдоевклидова метрика? Или Вы считаете, что во всех трех случаях множество конформных преобразований, помимо всего прочего, сохранающих евклидовы или псевдоевклидовы углы во всех трех случаях одно и то же?

Без метрики ввести конформные преобразования нельзя; в случае, когда метрика определена, я под конформными преобразованиями понимаю сохраняющие ее с точностью до умножения на скаляр диффеоморфизмы, т.е. диффеоморфизмы вида $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, удовлетворяющие равенству $f^* g = \lambda_f g$, где $\lambda_f \in C^\infty (\mathbb{R}^2)$. Это стандартное определение, см. Дубровина-Новикова-Фоменко.

[Time]

g______d в сообщении #501311 писал(а):

О, а вот это интересное замечание. Т. е. Вы устанавливаете соответствие между голоморфными функциями и диффеоморфизмами? По причинам, схожим с ранее упомянутыми мной, это тоже довольно сомнительно.

Нет. Мое замечание касалось того факта, что структура множества конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, которое является бесконечнопараметрическим, с точки зрения своего устройства ТОЧНО ТАКАЯ же как структура множества конформных преобразований любого другого плоского пространства с метрикой БМ большей размерности. Более того, все конформные преобразования двумерного псевдоевклидова пространства являются подмножеством всех конформных преобразований БМ пространства большей, чем два размерности. И если Вам по каким-то причинам, конформные преобразования многомерного БМ пространства кажутся малоинтересными, то еще менее интересными Вам должны представляться конформные преобразования в двумерии. Но поскольку, по крайней мере, для двумерной конформной теории поля так не считается, то и в отношении многомерных БМ пространств пренебрежительного отношения не должно быть.
Преобразований исходного плоского пространства связанных с его диффеоморфизмами, несомненно больше, чем h-голоморфных функций, но множество последних все равно бесконечнопараметрическое и именно этим оно интересно и прежде всего для физических приложений.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501323 писал(а):

структура множества конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, которое является бесконечнопараметрическим, с точки зрения своего устройства ТОЧНО ТАКАЯ же как структура множества конформных преобразований любого другого плоского пространства с метрикой БМ большей размерности.

Вот это вам придется пояснить по многим причинам:
1) Что значит "структура множества" и "бесконечнопараметрическое множество"?
2) Что значит "структура точно такая же"?
Я надеюсь, что к существованию биекции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ мне вас отсылать не придется :)

[g______d]

Двумерных ситуаций бывает две: евклидова и псевдоевклидова. В первой локальные конформные преобразования осуществляются аналитическими функциями. Во второй --- h-аналитическими. Последние являются, как Вы и Лаврентьев с Шабатом правильно заметили, парами диффеоморфизмов. Деятельность, связанная с метрикой БМ, обобщает (возможно) вторые, не имея никакого отношения к первым. И очевидно, что комплексный анализ не имеет практически никакого отношения ко вторым.

Таким образом, мне пока что слова о том, что деятельность с метрикой БМ обобщает двумерный комплексный анализ, кажутся подменой понятий. h-аналитические функции --- это чистый вещественный анализ.

Пожалуйста, дайте математически строгое определение h-голоморфной функции.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501319 писал(а):

Без метрики ввести конформные преобразования нельзя; в случае, когда метрика определена, я под конформными преобразованиями понимаю сохраняющие ее с точностью до умножения на скаляр диффеоморфизмы,

Все правильно, такие преобразования действительно принято называть конформными, но только они отличаются от своего подмножества, для которых исходное плоское пространство переходит в само себя, то есть, в такое же плоское пространство. Я ВСЕГДА говорил только о ТАКИХ конформных преобразованиях евклидовых и псевдоевклидовых пространств, а также плоских финслеровых, связанных с поличислами. У многомерных евклидовых и пседоевклидовых пространств ТАКИЕ конформные преобразования образуют в соответствии с теоремой Лиувиля конечномерную группу, за исключением двумерных случаев. При этом в обоих двумериях, что в евклидовом, что в псевдоевклидовом множества ТАКИХ конформных преобразований бесконечнопараметрические. Вот только в случае двумерного евклидова пространства этому множеству "плоских" конформных преобразований найдена и причем не одна физическая интерпретация, а для во многом аналогичного множества таких же "плоских" конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости физическая инетрпретация с активной точки зрения на преобразования найдена лишь в дмумерной СТО и только для подгруппы линейных преобразований, связанных с группой движений. Нелинейные конформные преобразования и связанные с ними h-голоморфные функции двойной пеменной до сих пор не получили естественной для них физической интерпретации как неких полей в двумерном ПЛОСКОМ пространстве-времени или хотя бы как переходов между неинерциальными системами отсчета соответствующего пространственно-временнОго плоского двхмерия. Я раз сто повторил эту проблему, но практически никто из читавших даже не заподозрил, что она тут есть. Ну, на фига, спрашивается куча математических знаний, если они не помогают разглядеть в общем то элементарных вещей?

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501344 писал(а):

Все правильно, такие преобразования действительно принято называть конформными, но только они отличаются от своего подмножества, для которых исходное плоское пространство переходит в само себя, то есть, в такое же плоское пространство.

Назовите определение диффеоморфизма, а то я начинаю думать, что вы и не подозреваете, что это подмножество совпадает со всем описанным мной множеством.

Далее, вы так и не ответили на два моих вопроса, а они очень важны. Ответьте, пожалуйста.

[Time]

g______d в сообщении #501331 писал(а):

Двумерных ситуаций бывает две: евклидова и псевдоевклидова. В первой локальные конформные преобразования осуществляются аналитическими функциями. Во второй --- h-аналитическими.

Почему Вы конформные преобразования евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей упорно именуете "локальными"? Выше я пояснил для Kallikanzarid, что говорил лишь о таких конформных преобразованиях, которые переводят исходные евклидову или псевдоевклидову плоскости в себя же, то есть так же в плоские пространства и в этом смысле такие преобразования столь же глобальны, что и обычные изометрические преобразования евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей.

g______d в сообщении #501331 писал(а):

Последние являются, как Вы и Лаврентьев с Шабатом правильно заметили, парами диффеоморфизмов. Деятельность, связанная с метрикой БМ, обобщает (возможно) вторые, не имея никакого отношения к первым.

Все правильно. Деятельность связанная с метрикой БМ (по крайней мере, когда строятся БМ пространства над полем вещественных чисел) обобщает (и не возможно, а вполне полноценно) h-голоморфные функции двойной переменной. Это очевидно уже хотя бы потому, что алгебра h-голоморфных функций двойной переменной является подалгеброй h-голоморфных функций, например, четверной переменной.
На счет того, что h-голоморфные функции двойной переменной не имеют "никакого отношения" к голоморфным функциям комплексной переменной Вы так же правы, но только в том отношении, что так принято сегодня считать. А считать так принято во многом именно по причине той проблемы, о которй я Вас и спрашивал. Повторю суть: для всех без исключения голоморфных функций комплексной переменной давно найдены, и геометрические, и физические интерпретации как потенциальных и соленоидальных двумерных векторных полей, а для их h-голоморфных аналогов соотвествующие интерпретации если и есть, то совсем не аналогичные. Так, те же Лаврентьев с Шабатом связывают h-голоморфные функции с суперпозицией двух одномерных волн в двумерном пространстве-времени, двумерная СТО дает интерпретацию лишь трехпараметрической группе изометрических преобразований двумерного пространства-времени, а двумерная конформная теория поля, работает с квантовыми, а совсем не с классическими геометрическими свойствами. Кому как, а мне подобная несправедливость в отношении, и множества h-аналитических функций двойной переменной, и в отношении к связанным с ними конформным преобразованиям (в активном смысле их понимания) представляется совершенно неоправданной. Я еще могу понять убеждения математиков, что мол h-голоморфные функции слишком примитивно устроены по сравнению с голоморфными на комплексных числах, но отсутствие даже попыток взглянуть на эти функции и связанные с ними конформные преобразования как на указание самой математики, как именно МОЖЕТ БЫТЬ устроена физика двумерных полей в плоском пространстве-времени - понять не могу. Это даже не близорукость, это воинствующая близорукость.. Собственно, именно эта близорукость и является причиной того, что в отличие от бедного на конформные преобразования пространства-времени Минковского богатое на них четырехмерное пространство Бервальда-Моора почти никем из физиков не рассматривается как кандидат на близкое к реальному пространству-времени многообразие, причем более близкое, чем пространство Минковского. Хотя последнее, безусловно, достаточно хороший вариант для моделирования этой самой реальности..

g______d в сообщении #501331 писал(а):

Таким образом, мне пока что слова о том, что деятельность с метрикой БМ обобщает двумерный комплексный анализ, кажутся подменой понятий. h-аналитические функции --- это чистый вещественный анализ.

Скажите, Вы можете сказать, что геометрия псевдоевклидовой плоскости подменяет собой геометрию евклидовой плоскости? Точно так же мы никогда не говорили, что двумерные h-голоморфные функции двойной переменной подменяют собой голоморфные функции комплексной переменной. Это Вы совсем неправильно поняли наши намерения. Тут можно говорить лишь об определенной аналогии, но никак не о подмене или замене одного другим. Мы говорим лишь о том, что грамотное и полноценное применение h-голоморфных функций двойной переменной к двумерному псевдоевклидову пространству-времени должно иметь примерно такой же результат, что и применение голоморфных функций комплексной переменной к геометрии и физике двумерного евклидова пространства. Вот Вы должны знать много полезных качеств теории комплексного потенциала основанной на голоморфных функциях и конформных преобразованиях евклидовой плоскости. А Вы что ни будь знаете, об АНАЛОГИЧЫХ возможностях теории h-голоморфных функций? Какие векторные поля Вы видели и в связи с какими нелинейными h-голоморфными функциями для двумерного псевдоевклидова пространства времени? Мы утверждаем, что так быть не должно и мириться с отсутсвием соответствующих приложений h-голоморфных функций можно лишь до поры до времени. Пока физически реальные поля с "нужными" геометрическими свойствами, точно такими же как у векторных полей для h-голоморфных функций не будут обнаружены в экспериментах и не станут общепризнанными реальными полями.
Кроме того, обратите внимание, что теория комплексного потенциала не расширяется на свое обобщение для четырехмерного евклидова или четырехмерного псевдоевклидова пространста, а теория h-комплексного потенциала двойной переменной (в случае своего создания) легко расширится на теорию h-комплексного потенциала четырехмерного БМ пространства-времени. Причем с сохранением бесконечности конформных преобразований.

g______d в сообщении #501331 писал(а):

h-аналитические функции --- это чистый вещественный анализ.

Попробуйте сказать, что геометрия псевдоевклидовой плоскости это чисто геометрия двух вещественных прямых. А ведь Вы сейчас примерно это и сказали. Попробуйте, через "немогу" глянуть вторую статью чуть дальше 51 страницы, желательно до конца, есть шанс, что после этого Вы вряд ли повторите, что h-голоморфные функции (об h-аналитичности я бы пока не говорил) - это чисто вещественный анализ. В противном случае, стОит утверждать, что геометрия двумерного пространства-времени это чисто геометрия вещественной прямой..

g______d в сообщении #501331 писал(а):

Пожалуйста, дайте математически строгое определение h-голоморфной функции.

Более строгого, чем дано на 51 странице обсуждавшейся выше статьи - дать не могу. А чем оно Вас не устраивает? Вы же вроде согласились с ошибочностью своего утверждения о неверности первой фразы четвертого раздела 51 страницы. Или я что-то не так понял?

[ИгорЪ]

Эк расписались! Я раньше давал ссылку, смотрите там, и гуглить лучще на конформную теорию поля. Конформные преобразования, это та часть общекоординатных преобразований, что приводит к умножению метрики на функцию. Физики, в двумерном случае, выкалывают точку ноль на $z$ плоскости и рассматривают аналитическую функцию, осуществляющую конформное преобразование, в виде ряда Лорана в нуле $\sum a_nz^n$. Тогда генераторы преобразований задаются векторными полями вида $ z^n\partial _z $, коих бесконечное число и коммутатор их легко считается. Для случая Римановой метрики, эта бесконечномерность уникальна, если не считать, одномерный случай, где любое преобразование конформно, в других размерностях конформная группа конечномерна.
Вопрос, который меня интересует здесь, насколько конструктивно эта ситуация повторяется в БМ метрике. Какова роль гиперусловий Коши-Римана, гипераналитичности. Дело в том, что в римановом случае в двумерии, этой бесконечной симметрии оказывается достаточно (и одновременно не слишком много чтобы сделать всё тривиальным) для построения точно решаемых двумерных квантовых теорий поля.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501357 писал(а):

Назовите определение диффеоморфизма, а то я начинаю думать, что вы и не подозреваете, что это подмножество совпадает со всем описанным мной множеством.

Вы снова передергиваете, я говорил не о вами описанном множестве конформных преобразований, а о его подмножестве, которое оставляет исходное пространство с метрикой ПЛОСКИМ. ЭТО множество не совпадает с вашим. Обычно конформные преобразования определенные так, как дано в "Современной геометрии", будучи примененными к плоским пространствам с активной точки зрения на преобразования, делают полученное новое пространство уже искривленным. И только в относительно редких случаях, полученное после "вашего" конформного преобразования новое пространство будет оставаться плоским, а чаще всего - искривленным с точки зрения той метрики для которой оно применялось. Неужели это так трудно различать? Я говорил только о последних преобразованиях, которые являются очень частным случаем "ваших", но очень важным с точки зрения физических приложений случаем..

-- Ср ноя 09, 2011 00:24:10 --

На счет ваших двух вопросов. Я так понимаю - этих:

Kallikanzarid в сообщении #501326 писал(а):

1) Что значит "структура множества" и "бесконечнопараметрическое множество"?
2) Что значит "структура точно такая же"?

Возможно, говоря "структура множества" я нечаянно воспользовался "занятым" термином. Я хотел лишь сказать, что правила получения или возникновения конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, оставляющие ее и после преобразования плоской, точно такие же как и правила получения конформных преобразований плоских пространств БМ, оставляющих их так же плоскими.
Слова "Бесконечнопараметрическое множество" конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости должны были сообщить, что множество конфомных преобразований на такой плоскости существенно выходит за рамки дробнолинейных преобразований и связано с бесконечным числом вараинтов (независимых параметров), при которых конформность имеет место, но кривизна плоскости после преобразования не меняется.

Слова "структура точно такая же" означают, что двумерное плоское пространство Бервальда-Моора (оно же и есть двумерное плоское псевдоевклидово пространство-время) самый обычный частный случай n-мерного плоского БМ пространства и что во всех измерениях, включая и два, группа конформных "плоских" преобразований тут независимо от числа измерений устроена совершенно одинаково. А то во множестве постов моих аппонентов часто утверждается, что мол конформные преобразования псевдоевклидова пространства-времени это вполне себе "хорошо", а вот для многомерных плоских прсотранств Бервальда-Моора, конформные преобразования как-то слишком просто устроены и сводятся к растяжениям одномерной вещественной прямой, что мол уже "плохо". Если вы что-то утвержаете о "неинтересности" конформных "плоских" преобразований многомерных пространств Бервальда-Моора, то будьте добры отдавать отчет, что столь же "неинтересно" устроены и конформные "плоские" преобразования псевдоевклидовой плоскости. Тут нет принципиальной разницы..

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501367 писал(а):

Вы снова передергиваете, я говорил не о вами описанном множестве конформных преобразований, а о его подмножестве, которое оставляет исходное пространство с метрикой ПЛОСКИМ. ЭТО множество не совпадает с вашим. Обычно конформные преобразования определенные так, как дано в "Современной геометрии" будучи примененными к плоским пространствам с активной точки зрения на преобразования делают полученное новое пространство уже искривленным. И только в относительно редких случаях, полученное после "вашего" конформного преобразования новое пространство будет оставаться плоским. Неужели это так трудно различать?

Это было бы легко различать, если бы вы изъяснялись в терминах, хоть немного похожих на современные. Что значит "остается плоским", что значит "активная точка зрения"? Как я понимаю, вы имеете ввиду случай, когда $\lambda_f = \mathrm{const}$, но в таком случае вы никогда не получите бесконечномерную группу, т.к. легко убедиться, что она будет являеться прямым произведением группы изометрий на группу дилатаций.

Time в сообщении #501367 писал(а):

Возможно, говоря "структура множества" я нечаянно воспользовался "занятым" термином. Я хотел лишь сказать, что правила получения или возникновения конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, оставляющие ее и после преобразования плоской, точно такие же как и правила получения конформных преобразований плоских пространств БМ, оставляющих их так же плоскими.
Слова "Бесконечнопараметрическое множество" конформный преобразований псевдоевклидовой плоскости должны были сообщить, что множество конфомных преобразований на такой плоскости существенно выходит за рамки дробнолинейных преобразований и связано с бесконечным числом вараинтов, при которых конформность имеет место, но кривизна плоскости после преобразования не меняется.

Все это не имеет ни малейшего смысла:
1) Что значит "правила получения"? Вы можете эти правила записать формально?
2) Что значит "существенно выходит за рамки дробно-линейных преобразований", если дробно-линейные преобразования, отличные от линейных, в вашу группу не входят, потому что они не биективны? И неужели вы серьезно думаете, что такие преобразования (даже если мы на секунду игнорируем их полюса) не меняют кривизну плоскости? Еще как меняют, в чем вы сможете убедиться, посчитав ее. Возьмите хотя бы $z \mapsto 1/z$ и посчитайте кривизну индуцированной им метрики в точке $(1, 0)$.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

Это было бы легко различать, если бы вы изъяснялись в терминах, хоть немного похожих на современные.

Изъясняюсь, как умею. Тот факт, что по крайней мере некоторые современные физики могут меня понимать, говорит об отсутствии непреодолимых трудностей в коммуникации. Согласен, что это получается далеко не у всех. Если трудно понимать меня, читайте их. Вы сами не хотите ничего читать, что вам предлагалось из работ, где вполне себе приличный "перевод" с языка мне удобных и понятных терминов на общеупотребимый сегодня язык.

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

Что значит "остается плоским", что значит "активная точка зрения"?

Плоским в определенной своей области пространство остается в том случае, если найдется такая глоабальная система координат, что метрический тензор будет приведен к каноническому виду во всех точках этой области. Обычно, это означает, что метрический тензор можно привести к диагональному виду. На счет различий в "активной" и в "пассивной" точках зрения на преобразования вам лучше посмотреть работы позапрошлого века, пока не заняла своего главенствующего места общая теория относительности c ее, в основном "пассивной" точкой зрения на преобразовния, понимаемые в основном как переходы между криволинейными системами координат. При активной точке зрения на преобразования, рассматриваются не переходы от одних нелинейных координат к другим, а изменения самого пространства. Говорю, возможно, не вполне строго, если не устраивает, поищите сами более подходящие для вас определения. Это точно не мое изобретение.

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

Как я понимаю, вы имеете ввиду случай, когда , но в таком случае вы никогда не получите бесконечномерную группу, т.к. легко убедиться, что она будет являеться прямым произведением группы изометрий на группу дилатаций.

Не правильно понимаете. То, что вы привели в качестве версии, действительно дает слишком бедную группу. Ниже, на основании приведенного вами второго примера, попробую объяснить, что я имею ввиду и почему соответствующее множество преобразований именно что бесконечнопараметрическое для евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей и что при преобразованиях из этого множества пространство остается в основном плоским.

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

1) Что значит "правила получения"? Вы можете эти правила записать формально?

Они уже раз десять только в этой теме выписывались. На словах, конформные преобразования любого из $n$-мерных (n>1) БМ пространств в изотропном базисе сводятся к дилатациям задаваемым $n$ гладкими функциями от одной вещественной переменной каждая вдоль $n$ изотропных направлений, являющихся одномерными ребрами граненого изотропного конуса соответствующего пространства. Говорю опять своими словами, если нужно ближе к современному языку, могу дать нужные статьи, написанные существенно ближе к тому языку, что вы привыкли воспринимать. Я к сожалению, на нем не говорю.

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

2) Что значит "существенно выходит за рамки дробно-линейных преобразований", если дробно-линейные преобразования, отличные от линейных, в вашу группу не входят, потому что они не биективны?

У меня такое ощущение, что практически все посты данной темы, независимо от того, кто их записал вы автоматически приписываете мне. Про невхождение в группу конформных преобразований евклидовой плоскости дробнолинейных преобразований комплексной переменной утверждал g______d, я лишь отчасти согласился с ним на основании отсутствия этой самой биективности. Но в качестве примеров нелинейных конформных преобразований плоскости эти самые дробнолинейные преобразования никуда не делись. Будем мы их именовать группой или нет. Это ж вопрос десятый и к тому же не мною поднятый. Тоже самое и в отношении более сложных нелинейных конформных преобразований евклидовой плоскости и связанных с ними аналитических функций..

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

И неужели вы серьезно думаете, что такие преобразования (даже если мы на секунду игнорируем их полюса) не меняют кривизну плоскости?

Я именно так и думаю. Более того, совершенно точно знаю, что конформные преобразования, связанные с произвольными аналитическими функциями комплексной переменной оставляют нулевую кривизну исходной плоскости неизменно нулевой везде, кроме особых точек (вы их назвали полюсами, но это не принципиально). Вероятно, вы очень давно изучали ТФКП и сильно подзабыли основные свойства конформных преобразований комплексной плоскости, связанных с аналитическими функциями.

Kallikanzarid в сообщении #501381 писал(а):

Еще как меняют, в чем вы сможете убедиться, посчитав ее. Возьмите хотя бы и посчитайте кривизну индуцированной им метрики в точке .

Аналитическая функция комплексной переменной $F(z)=1/z$ в соответствии с теорией комплексного потенциала приводит к появлению на комплексной плоскости векторного поля точечного диполя в точке с координатами $(0,0)$. Поэтому везде, кроме этой точки кривизна как была нулевой так и осталась нулевой. А в этой особой точке, на сколько я понимаю, либо не определена, либо равна бесконечности.
Возможно, что как и в случае с определением конформных преобразований мы просто говорим о разных вещах. Что бы у вас появилось представление, о чем говорю я, гляньте вопреки своему правилу, например, стр 53 из:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=487
Похоже, мы действительно говорим о разных вещах. Что бы конформное преобразование связанное с аналитической функцией $1/z$ не меняло кривизны преобразуемого пространства, нужно, что бы коэффициент растяжения/сжатия равнялся модулю производной от этой функции. Короче, наберитесь решимости и почитайте хотя бы одну указанную страницу. Возможно, станут понятны причины разногласий в вопросе изменения кривизны плоскости при преобразованиях связанных с аналитическими функциями..

-- Ср ноя 09, 2011 02:37:06 --

ИгорЪ в сообщении #501365 писал(а):

Конформные преобразования, это та часть общекоординатных преобразований, что приводит к умножению метрики на функцию.

Вы привели то же самое определение конформности преобразования, что и Kallikanzarid, но иными словами. Могу лишь повторить, что я имел ввиду только частный случай этих преобразований, а именно, когда конформно связанное пространство оказывается как и исходное плоским, во всяком случае, вне особых точек.

ИгорЪ в сообщении #501365 писал(а):

Физики, в двумерном случае, выкалывают точку ноль на плоскости и рассматривают аналитическую функцию, осуществляющую конформное преобразование, в виде ряда Лорана в нуле

А если особые точки у аналитической функции не только в нуле? Они же могут быть где угодно и сколько угодно.. В нуле они только для функций, представляемых рядом Лорана. Впрочем, вы говорите о квантовой двумерной теории поля, а я о теории самого обычного комплексного потенциала и его приложениях к классическим потенциальным и соленоидальным двумерным стационарным векторным полям. В последнем случае может рассматриваться сколько угодно особых точек, в которых теряется аналитичность и не сохраняется исходная нулевая кривизна евклидовой плоскости.

ИгорЪ в сообщении #501365 писал(а):

Для случая Римановой метрики, эта бесконечномерность уникальна, если не считать, одномерный случай, где любое преобразование конформно, в других размерностях конформная группа конечномерна.

Под "Римановой метрикой" вы понимаете римановость в строгом смысле этого термина, или двумерное псевдориманово пространство у вас так же подпадает под утверждаемую уникальность? Если первое, то чем вас не устраивает бесконечномерность конформных преобразований двумерного псевдориманова пространства, в частности, псевдоевклидовой плоскости? Если второе, то я вам уже говорил и доказывал, что у многмерных финслеровых пространств с метрической функцией Бервальда-Моора, конформные преобразования оставляющие пространство плоским везде кроме особых точек, устроены ТОЧНО ТАК ЖЕ как в двумерном псевдоевклидовом их частном случае. Говоря о конечномерности конформной группы в размерностях выше двух, вы пересказываете вывод теоремы Лиувиля, справедливой лишь для геометрий с квадратичным типом метрики. Аналогичной теоремы для плоских финслеровых пространств мне не известно. Поделитесь, если знаете..

ИгорЪ в сообщении #501365 писал(а):

Вопрос, который меня интересует здесь, насколько конструктивно эта ситуация повторяется в БМ метрике. Какова роль гиперусловий Коши-Римана, гипераналитичности. Дело в том, что в римановом случае в двумерии, этой бесконечной симметрии оказывается достаточно (и одновременно не слишком много чтобы сделать всё тривиальным) для построения точно решаемых двумерных квантовых теорий поля.

В БМ ситуация с конформными преобразованиями, оставляющими исходное пространство плоским повторяется полностью и так же "конструктивно", как и в двумерном псевдоевклидовом пространстве. Если угодно и интересно, можете пробовать использовать данное обстоятельство для расширений возможностей предоставляемых бесконечной конформной группой псевдоримановых пространств именно в направлении многомерных комформных квантовых теорий поля. Более того, это только в пространствах с квадратичным типом метрической функции, конформные преобразования являются "последним светом в окошке" из всех неперрывных геометрических симметрий. В некоторых многомерных финслеровых пространствах имеется еще целый ряд метрически выделенных преобразований. Так что, обобщение аналитичности (голоморфности) тут может быть существенно более интересной, чем только в связи с конформными, как вы сами заметили, довольно тривиальными в изотропном базисе нелинейными преобразованиями. Только ж квантовое направление не единственная возможность использование всего того симметрийного добра, что имеется в пространствах БМ и других поличисловых прсотранств. О другой возможности я пытаюсь объяснить вам уже несколько лет, но вы никак не хотите ее замечать. Речь о том, что конформные преобразования двумерного псевдоевклидова пространства-времени вместе с им соответствующими h-аналитическими функциями двойной переменной можно весьма эффективно задействовать не в квантовом, а в классическом геометрическом смысле, в полной аналогии с теорией комплексного потенциала, применяемой для классических геометрий связанных с потенциальными и соленоидальными двумерными векторными полями. Только в случае h-аналитичности, двумерные векторные поля реализуются уже в пространстве-времени. То есть, в пространственном смысле эти поля одномерны, зато нестационарны из-за наличия изменений по времниподобному направлению. Хоть тут всего и два измерения, но все равно, последствия такого простенького применения h-аналитических функций весьма и весьма далекоидущие. Тем более, что сделав такой шаг с h-аналитическими функциями двойной переменной, он потом полностью и совершенно естественно переносится и на многомерные прсотранства с метрикой Бервальда-Моора. Теория же комплексного потенциала, на многомерные евклидовы и псевдоевклидовы прсотранства без того, что бы избежать потерь, не переносится.
Я ваши интересы в направлении квантовых приложений бесконечных конформных групп вполне понимаю и уважаю, попробуйте и вы понять мои интересы в классическом направлении и уважайте их. Не можете принять сходу многомерны БМ пространства, давайте поговорим о двумерном их частном случае, когда БМ и псевдоевклидова плоскость - одно и то же. Ну нет у меня пока надобности и мотивации уходить в квантовые теории поля, мне интересны классические векторные поля на псевдоевклидовой плоскости, но не произвольные, а такие же как из аналитических функций комплексной переменной получаются для двумерного евклидова пространства, а в данном случае h-аналитических функций двойной переменной должны получаться выделенные векторные поля в двумерном пространстве-времени. С вполне инетерсными свойствами. Почему вы не хотите хотя бы по диагонали вникнуть в их свойства и в возможные их физические интерпретации? Такая ж позиция неконструктивна..