Многомерные расширения ТФКП

[ИгорЪ]

Time в сообщении #497927 писал(а):

Да, это известно, причем это имеет место для всех многомерных плоских финслеровых пространств имеющих связь с невырожденными коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными числами:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
Стр. 155-156 и рядом.

О, эту книгу я знаю, совершенно не для чтения написана. На указанных стр-ах доказательств искомого факта не просматривается. Докажите здесь. В обычном случае римановой метрики это занимает три строчки.

Time в сообщении #497927 писал(а):

Покажите хотя бы пару четырехмерных плоских пространств с метрическими функциями, для которых конформные группы симметрий бесконечномерны.

я этого не обещал вовсе, тем паче что их нет.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #497954 писал(а):

На указанных стр-ах доказательств искомого факта не просматривается.

Извиняюсь, перепутал лист. Доказательство на 153-154 странице.

ИгорЪ в сообщении #497954 писал(а):

Докажите здесь. В обычном случае римановой метрики это занимает три строчки.

Все правильно, автор приводит повтор такого доказательство для двумерной евкидовой плоскости на стр. 76.
А на следующей 77 стр. есть практически аналогичное короткое доказательство для трехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора.
Воспроизводить его здесь не буду. Нет желания посмотреть еще раз, не смотрите.

ИгорЪ в сообщении #497954 писал(а):

я этого не обещал вовсе, тем паче что их нет.

Я понимаю, что Вы не М.Громов, но тому потребовалось примерно пять секунд, что бы согласиться с фактом о бесконечности конформной группы всех многомерных пространств с метрикой Бервальда-Моора, при том, что он, как и Вы, до разговора со мной не обращал на данное обстоятельство внимания. К тому же, примите во внимание факт, что двумерное псевдоевклидово пространство - частный случай пространства с метрикой Бервальда-Моора, а именно, двумерного. Что у такого пространства конформная группа бесконечная, Вы и сами, вроде бы, не сомневаетесь.

[Xaositect]

Time в сообщении #497637 писал(а):

Не думаю, что Ваш пример отрицает сказанное мною о включении всех свойств обобщаемого в свойства обобщающего, но не наоборот. Аналогично можно приводить в качестве аргумента, что рациональные числа обладают свойством дискретного множества, а действительные - непрерывного. В результате это делает какие то манипуляции с первыми сложнее, чем со вторыми. Это ж не означает, что свойства действительных чисел оказались уже, чем свойства рациональных?
Скажите, а Вы как считаете, функции кватернионной переменной, связанные с преобразованиями выходящими за класс конформных в соответствующем 4-мерном евклидовом пространстве, можно считать естественным и прямым обобщением аналитических функций комплексной переменной, которые без всяких исключений связаны с конформными преобразованиями евклидовой плоскости, но последние не являются подмножеством первых? И, соответственно, является ли теория таких кватернионных функций ПОЛНОЦЕННЫМ расширением ТФКП?
Сравните, пожалуйста, эту ситуацию с ситуацией между аналитическими функциями комплексной переменной и функциями, скажем, бикомплексной переменной (коммутативно-ассоциативная алгебра, являющаяся прямой суммой двух комплексных), все из которых имеют связь с конформными преобразованиями соответствующего 4-мерного финслерова пространства, причем конформные преобразования комплексной плоскости являются подмножеством последних.

Ну я просто говорю, что некоторые свойства, которые в конкретной области вполне могут оказаться важными, при обобщении теряются. А в Вашей тематике я за пределами стандартного курса ТФКП не разбираюсь, так что комментировать не буду.

[ИгорЪ]

Time
Знаете, вы тогда выкиньте все доказательства и просто говорите, Громов с этим согласен. Я высмотрел все указанные страницы и увы не обнаружил вычислений, только декларации недоступные моим мозгам. Великая просьба доказать, и объяснить, почему БМ метрики конформно инвариантны во всех размерностях с бесконечной группой, а их частный случай, бедная риманова имеет бесконечную группу только в двух. Как редукция убивает бесконечномерность?

[Time]

Мне кажется, что Вы не столько не видите доказательства бесконечномерности и структуры конформной группы преобразований плоских пространств с метрикой Бервальда-Моора, сколько не понимаете самих таких финслеровых пространств.
Об этом говорит кусок Вашей фразы, о том, что риманова геометрия является частным случаем Бервальд-Мооровской. Вы выше упрекали меня в том,что я не желаю знакомиться с двумерной конформной теорией поля, но сами, в ответ на предложение (сделанное еще год назад) внимательно и последовательно познакомиться с книгой "Основы финслеровой геометрии для физиков" теперь пренебрежительно заявляете, что она "не для чтения". Что поделаешь, пока это единственная книга, в которой достаточно подробно рассмотрены различные плоские финслеровы пространства и некоторые их симметрии, включая конформные.
О.К., нет желания читать книгу Гарасько, посмотрите Дополнение-I к Книге Рунда написанное Асановым.
http://books4study.name/b3156.html
На странице 414 начинается краткая информация о пространствах с метрикой Бервальда-Моора, на стр. 419 говорится о бесконечномерной группе их конформных преобразований.

[Time]

ИгорЪ
Если изложение Асанова, Вам, как и изложение Гарасько покажется нечитаемым, есть еще вариант:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /10-01.pdf (стр. 5-6)
Это с большей вероятностью Вам должно подойти..

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #497927 писал(а):

К Вам просьба ответить на заданные вопросы.

Вы сами ни на один мой вопрос не ответили.

-- Ср ноя 02, 2011 19:09:38 --

Time, прекратите сыпать именами, "X считал так", "Y высказывал такое предположение" - это не математические аргументы; более того, в отсутствие математического содержания такие высказывания и вовсе считаются неприличными.

[ИгорЪ]

Time
формула 3.9 из http://books4study.name/b3156.html
и текст после неё не значит что риманова метрика есть частный случай финслеровой?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #498520 писал(а):

формула 3.9 из http://books4study.name/b3156.html
и текст после неё не значит что риманова метрика есть частный случай финслеровой?

Безусловно, все римановы пространства являются частным случаем финслеровых пространств. Но Вы то написали иное,а именно, что риманова метрика есть частный случай метрики Бервальда-Моора. Последнее, да и то не для римановой, а псевдоримановой метрики, справедливо лишь для числа измерений равного двум. В бОльших размерностях метрика Бервальда-Моора связана с римановой (вернее, с псевдоримановой метрикой) только за счет неких конструкций, в частности, соприкосновения.

[ИгорЪ]

да , тут вы видимо правы

[Time]

А в каких утверждениях из нашего диалога последних двух страниц продолжаете считать, что не прав?

[ИгорЪ]

Time в сообщении #498441 писал(а):

ИгорЪ
Если изложение Асанова, Вам, как и изложение Гарасько покажется нечитаемым, есть еще вариант:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /10-01.pdf (стр. 5-6)
Это с большей вероятностью Вам должно подойти..

Что ж, розъяснуйте откуда берутся условия 6.
В случае двумерия невидно как они воспроизводят обычные конформные преобразования, которые кстати неабелевы и бесконечномерны.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #499843 писал(а):

Что ж, розъяснуйте откуда берутся условия 6.

Там же написано: "из общих принципов дифференциально-геометрического подхода к непрерывным симметриям геометрических объектов, определенных на гладком многообразии". И ссылка есть на книгу Дубровина, Новикова и Фоменко "Современная геометрия". Не знаю как вы, а я не силен в уравнениях Киллинга и в производных Ли. Если действительно интересно как получаются условия (6), могу адресовать к соавтору. На форум он вряд ли пойдет, но в личной переписке, надеюсь, ответит.
Я полагал, что язык современной геометрии и физики вам будет лучше понятен, чем "нечитаемые" изложения Гарасько. Что касается меня, то мне более понятен еще более архаичный язык Лаврентьева и Шабата, примененный в практически аналогичной ситуации для аналитических функций от двойных чисел:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=144
(стр.57)
Там рассматривается независимость производной функции гиперкомплексной переменной от направления, откуда и возникают для двойных чисел гиперболические условия Коши-Римана в виде двух уравнений "без минуса", как вы когда-то выражались. Для четверных чисел $H_4$, условий типа гиперболических Коши-Римана для четырех скалярных функций существенно больше, все они "без минуса", а в качестве решений дают бесконечнопараметрическое множество четырех сопряженных скалярных функций, вместе задающих h-аналитическую функцию гиперкомплексной перменнной $H_4$. С любой из так сконструированных функций связывается конкретное конформное преобразование плоского финслерова пространства, ассоциированного с алгеброй $H_4$. Поскольку h-аналитических функций от $H_4$ бесконечное множество, постольку и множество конформных преобразований четырехмерного пространства Бервальда-Моора так же бесконечно много.

ИгорЪ в сообщении #499843 писал(а):

В случае двумерия невидно как они воспроизводят обычные конформные преобразования

От системы уравнений, задающих условия Коши-Римана в четверных числах перейти к условиям для двойных - нет никаких проблем. Просто все лишние условия, кроме двух, исчезают.

ИгорЪ в сообщении #499843 писал(а):

которые кстати неабелевы и бесконечномерны.

На счет абелевости группы конформных преобразований четырехмерного пространства Бервальда-Моора, это мы с соавтором, похоже, погорячились. Впрочем, имелись ввиду только такие конформные преобразования, которые соответствуют растяжениям без трансляций. Тут, на сколько я понимаю, примерно такая же ситуация, как в случе с изометриями. В $H_4$ полная группа изометрических преобразований является неоднородной и неабелевой, а группа гиперболических поворотов - однородной и абелевой. В любом случае, на бесконечномерность группы конформных преобразований $H_4$ данный нюанс никак не влияет.
Можно перейти к резюме?
Вы по-прежнему считаете, что четырехмерное плоское финслерово пространство с метрической функцией Бервальда-Моора обладает конечномерной группой конформных преобразований?

[Mopnex]

По поводу кватернионов. Есть такая теорема, доказанная, по моему, Понтрягиным: связное, локально компактное, непрерывное алгебраическое тело изоморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов. Весьма важное указание на место кватернионов.

[Time]

Mopnex в сообщении #500604 писал(а):

По поводу кватернионов. Есть такая теорема, доказанная, по моему, Понтрягиным: связное, локально компактное, непрерывное алгебраическое тело изоморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов. Весьма важное указание на место кватернионов.

С этим никто и не спорит. Открытие данной темы было связано с вопросом, можно ли считать, что над телом кватернионов имеется естественный аналог аналитических функций действительной и комплексной переменной? А так же можно или нельзя построить естественное обобщение аналитических функций, скажем, над коммутативным кольцом двойных, тройных и четверных гиперкомплексных чисел, которые в геометрическом плане ассоциируются с псевдоевклидовой плоскостью, трех- и четырехмерным плоскими финслеровыми пространствами с метрической функцией Бервальда-Моора, соответственно. При этом специально акцентируется, что у всех ассоциированных с перечисленными алгебрами пространствами, кроме связанного с кватернионами, группа конформных симметрий бесконечнопараметрическая. Какова Ваша позиция в отношении аналитичности функций кватернионной переменной? А так же по поводу аналитичности (вернее, h-аналитичности) функций двойной, тройной и четверной переменных?