Решите слышком простые уравнение

[myra_panama]

$1. x^{\log_{2}3}+1=x^2$

$2. \frac1{x^2}-\frac1{(x+1)^2}=1$

$3. x^4+4x-1=0$

[venco]

А где ваши попытки решения? Вы ведь не новичок на форуме.
Если в первом уравнении решение можно угадать, то остальные я бы не назвал "слишком простыми".

[Klad33]

3) Все просто решается, если догадаться о таком разложении на множители:

$ \left( {x}^{2}+1-\sqrt {2}x+\sqrt {2} \right) \left( {x}^{2}+1+\sqrt {2}x-\sqrt {2} \right) =0$

Но раз для Вас все просто, то сами догадайтесь, как к такому прийти.

[bot]

2) Приводим к $x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1$. Далее тригонометрия своё сделает, хотя и повозиться придётся.

[nnosipov]

bot в сообщении #500709 писал(а):

2) Приводим к $x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=1$. Далее тригонометрия своё сделает, хотя и повозиться придётся.

Это слишком хитро будет. Здесь у кубической резольвенты рациональный корень.

[Klad33]

2) Нет, тут не тригонометрия. Полином четвертой степени разлагается на множители:

$x^4+2x^3+x^2-2x-1=0$

$\big [x^2+(1+\sqrt{2})(x+1) \big ] \big [ x^2+(1-\sqrt{2})(x+1)\big ] = 0 $

[bot]

Как это не, когда вот она:

$\left\{ \begin{matrix}x=\sin t\\ (\sin t-\cos t)^2+2(\sin t-\cos t)-1=0\end{matrix}\right. $

[Klad33]

Ну на знаю! У меня ответ уже готов в двух скобках, а с синусами-косинусами еще крутить и крутить.

[Shadow]

По второй да. И я в тригонометрию полез. Представить себе прямоуг. треугольник с катетами 1 и $\frac {1}{x+1}$ и гипотенузой $\frac{1}{x}$. Угол напротив 1
$\sin{\alpha}=x$
$\tg{\alpha}=x+1$

Уравнение $\tg{\alpha}-\sin{\alpha}=1$

[Klad33]

Пока что вижу альтернативные красивые формы. Вот только решения не вижу.

[Klad33]

1) Этот пример на самом деле простой и решается в уме, поскольку

$ 2^{log_2 3}+1=2^2 $

[bot]

Klad33 в сообщении #500749 писал(а):

а с синусами-косинусами еще крутить и крутить.

У Shadow то же самое уравнение, я просто довёл его до столбовой дороги. Всего и осталось

$\sin t +(- \cos t)= \sqrt 2-1, \ \sin t (-\cos t)=1-\sqrt 2,\ x^2+(1-\sqrt 2)x+1-\sqrt 2=0$

[Shadow]

Klad33, интересно, как это Вы полиномы четвертой степени в уме разлагаете. Какими методами пользовались? Или это Вам от Бога дано?

[bot]

Да всё просто - надо его поделить на квадратный трёхчлен, который у нас с Вами получился.

[myra_panama]

(1 уравнение)

1.При x>0, можем сделать замену $x=2^y$ , отсюда
$3^y+1=4^y$.
Единственный корень этого уравнение $y=1$ , так как
$1+(\frac13)^y=(\frac43)^y$
в которой, левая часть представляет собой непрерывную и убывающую на $OY$ , а правая часть непрерывную возрастающую функцию. Отсюда из $x=2^y$ получим , $x=2$

(2 уравнение)

Из
$\frac1{x^2}-\frac1{(x+1)^2}=1$
получим

$x^4+2x^3+x^2-2x-1=0$
разделим уравнение на $x^4$
$1+\frac2{x}+\frac1{x^2}-\frac2{x^3}-\frac1{x^4}=0$

$2(\frac1{x}+\frac1{x^2})-(\frac1{x}+\frac1{x^2})^2+1=0$

и сделаем замену: $\frac1{x}+\frac1{x^2}=z$ , дальше понятно....

(3 уравнение)

$x^4+4x-1=0$
$x^4=-4x+1$
$x^4+2x+1=2(x^2-2x+1)$
$(x^2+1)^2=(\sqrt2x-\sqrt2)^2$
дальше все