Суммы с факториалами по простому модулю

[nnosipov]

Пусть $p>3$ --- простое число. а) Докажите, что

$$ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(2k-1)!}{k!^2} \bmod{p}=0. $$

б) Как быстро вычислить

$$ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} (-1)^k\frac{(2k-1)!}{k!^2} \bmod{p}, $$

если $p$ велико?

[Null]

Пункт а) можно свести к

$$ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} C^k_{2k} C^{p-2k}_p \bmod{p^2}=0. $$

Это я умею доказывать(задача с кубка Колмогорова).


В б) чисел Фибоначчи не будет?

[nnosipov]

Null, всё верно. Хотя не совсем Фибоначчи, но это неважно.

[nnosipov]

Кто-нибудь напишет решение п. б)? Было бы интересно сравнить.