Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Прежде чем идти дальше, позволю сделать еще одно замечание об аксиомах и определениях в дополнение к посту post498291.html#p498291

Когда мы сформировали некий набор аксиом, нам в общем случае очень трудно доказать непротиворечивость этого набора аксиом.

А консервативный стиль определений позволяет упростить дело - вместо попыток сформулировать набор аксиом и затем доказать непротиворечивость этого набора аксиом мы поступаем, в определенном смысле, прямо противоположным образом. Мы, фактически, постепенно расширяем модель нашей теории. Поэтому наша теория на всех этапах ее построения и развития заведомо непротиворечива. Хотя при этом мы даже не беспокоимся об аксиоматизации/формализации этой теории, оставаясь в рамках наивного подхода!

Другими словами, если дана исходная модель (соответствующая ей теория, разумеется, непротиворечива), и мы добавили новое определение (в консервативном стиле) к теории исходной модели, то мы автоматически получаем модель расширенной теории. Следовательно, расширенная теория также непротиворечива.

[vek88]

Вот простой пример к предыдущему посту. Представим себе, что мы ничего не знаем о классическом исчислениии высказываний и ... определяем логические операции в соответствии с классическими истинностными таблицами.

Далее для заданного множества исходных высказываний, каждое из которых уже наделено одним и только одним из двух истинностных значений (истина, ложь), мы строим формулы с помощью этих связок.

Разумеется, каждая формула получит в точности одно истинностное значение (либо истина, либо ложь).

Что мы сделали? Мы построили некоторую модель. Вопрос - для какой теории? Блин ... мы даже как бы не знаем, что построили модель для классического набора аксиом исчисления высказываний.

Сторонник аксиоматического подхода здесь, видимо, возмутится - как так, Вы не доказали непротиворечивость и т.д. и т.п. Стоп, батенька, - это Вы должны доказывать непротиворечивость Вашей аксиоматической теории, которую Вы предложили для нашей модели.

А у нас модель! Поэтому любая адекватная формальная теория для этой модели по определению непротиворечива. А уж адекватна или нет Ваша аксиоматика - это не наше дело.

[Prorab]

По мнению администрации форума и некоторых заслуженных участников данная тема не соответствует правилам форума, поскольку уже довольно продолжительное время ведется в формате блога и не имеет конкретной четко сформулированной постановки обсуждаемого вопроса. По этой причине через три дня тема будет перенесена в Пургаторий. ТС, если желает, может до понедельника что-либо добавить.

[vek88]

Prorab

Да, тема меняла свою направленность в процессе развития. В данный момент рассматривается вопрос непротиворечивости реальной математической практики. Ну и что? Разве тема не может развиваться и менять направление? При этом ИМХО тема оставалась в русле оснований математики.

И опять же ИМХО тема пользуется определенной популярностью у участников форума.

Впрочем, не мое это дело вникать в нюансы Ваших правил: хозяин - барин.

Однако ИМХО материал получился неплохой. В связи с этим у меня вопрос к администрации форума. Не возражаете, если я опубликую в печати все материалы данной темы с моими комментариями? Порядка нескольких тысяч экземпляров.

[Prorab]

Не возражаем.

Forum Administration в сообщении #27359 писал(а):

IV. Юридические положения
...
Все опубликованные сообщения являются общественной собственностью и могут свободно копироваться в неизменном виде при условии указания явной ссылки на форум. Авторы сохраняют за собой личные неимущественные права на опубликованные сообщения.
...

То есть со своими сообщениями Вы можете делать вообще все, что угодно, а при воспроизведении сообщений других авторов указывайте ссылку на форум и на ник автора, которого цитируете.

[vek88]

Prorab в сообщении #498949 писал(а):

Не возражаем.

Forum Administration в сообщении #27359 писал(а):

IV. Юридические положения
...
Все опубликованные сообщения являются общественной собственностью и могут свободно копироваться в неизменном виде при условии указания явной ссылки на форум. Авторы сохраняют за собой личные неимущественные права на опубликованные сообщения.
...

То есть со своими сообщениями Вы можете делать вообще все, что угодно, а при воспроизведении сообщений других авторов указывайте ссылку на форум и на ник автора, которого цитируете.

Спасибо, Prorab!

Я так и поступлю.

[prophet]

Математика исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Вот в этом и заключаются основания математики.

Определение А.Н. Колмогорова: "Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира".

Совершенно естественно, если человек сначала познаёт (исследует) действительный мир и затем выражает результат исследований в аналитическом виде.

[shwedka]

prophet в сообщении #499787 писал(а):

Определение А.Н. Колмогорова:

Учтите только, что это определение из советского издания БСЭ, где ничего иного А.Н.Колмогоров не мог привести, как цитату из Энгельса:

Цитата:

Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира,

(Маркс, Энгельс, Собрание Сочинений, т.20, стр.37.)
Но даже в БСЭ Колмогоров далее объясняет, что все эти слова не следует понимать буквально, а, напротив, они подлежат далекой абстрактизации.

Тем более теперь, когда от Энгельса можно и отступить, учитывая его отсутствующую репутацию в математике,
не стоит впадать в детство и сводить математику к обработке наблюдений.

[vek88]

Спасибо, shwedka

Все разъяснили. А то я даже и не знал, что ответить prophet. Меня сильно озадачил его пост - неужели, думаю, Колмогоров мог написать такую лажу в духе диалектического материализма.

А теперь все понятно. Уверен, что Колмогоров не мог этого написать. Делать ему больше было нечего, как цитировать Энгельса. ИМХО статью для БСЭ 2-го издания, по материалам которой написана и статья в последнем издании БСЭ (не поленился достать из шкафа том 15), написал какой-либо из его сотудников или аспирантов и отредактировал, как положено, редактор БСЭ. Видимо, Колмогорову принесли окончательный текст на согласование, но уверен, что у него и на это не нашлось времени - тоже отослал кому-нибудь из сотрудников/аспирантов.

[prophet]

shwedka в сообщении #499865 писал(а):

Определение А.Н. Колмогорова:

Учтите только, что это определение из советского издания БСЭ, где ничего иного А.Н.Колмогоров не мог привести, как цитату из Энгельса:

Цитата:
Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира

Соратники, которые лично знали А.Н. Колмогорова утверждали, что за всю свою жизнь он не разу не ошибся.

Но Вы говорите совершенно иное, что определение Колмогорова опубликованное в БСЭ, касающееся оснований математики, является ошибочным.

В таком случае, прошу Вас дать собственное определение оснований математики.

[shwedka]

prophet в сообщении #500462 писал(а):

что определение Колмогорова опубликованное в БСЭ, касающееся оснований математики,

Подлогом занимаетсь, коллега. Это не определение Колмогорова, а определение Энгельса. И это не определение оснований математики, а описание математики, данное полтора века назад философом, не являючимся специалистом в предмете, но превращенное советстой системой в догму.


А 'определения' математики, в строгом смысле этого слова не существует. Имеется общее понимание, выражаемое в разных формах, не всегда полностью согласующихся, но и не противоречащих друг другу.
Вот посмотрите, например, набор таких описаноий в Википедии.

[Kallikanzarid]

prophet в сообщении #500462 писал(а):

Соратники, которые лично знали А.Н. Колмогорова утверждали, что за всю свою жизнь он не разу не ошибся.

Толсто. Еще они утверждали, что он какал радугой, я угадал?

[prophet]

shwedka в сообщении #500485 писал(а):

Это не определение Колмогорова, а определение Энгельса. И это не определение оснований математики, а описание математики, данное полтора века назад философом

Прошу Вас не искать подлога, а сосредоточиться на теме разговора.

Вы правы, Энгельс не был математиком, но был философом-реалистом, и поэтому точно и кратко сформулировал суть науки математики. Академик А.Н. Колмогоров, как математик, принял эту формулировку, показав тем самым её справедливость.

Основания, фундамент, базис математики - мы сейчас говорим об этом.

Математик должен уметь абстрагироваться во время работы, чтобы временно отбросить лишнее и выделить существенные признаки предметов и отношений предметов исследования. Но последнее не должно являться самоцелью. Достигнув некоторого абстрактного результата, математик должен суметь вернуться в исходную точку и проверить состоятельность (непротиворечивость) полученных им выводов, исходя из здравого смысла, по той причине, что жизнь она не абстрактна и однобока, а реальна и многогранна.

[shwedka]

prophet в сообщении #501008 писал(а):

Прошу Вас не искать подлога, а сосредоточиться на теме разговора.

Тема теряется, если собеседник совершает подлог.

Цитата:

и поэтому точно и кратко сформулировал суть науки математики.

В меру своего догматического понимания.

Цитата:

Академик А.Н. Колмогоров, как математик, принял эту формулировку, показав тем самым её справедливость.

Не вижу у Вас убедительной аргументции, что он показал ее справедливость.

Он ее процитировал.

prophet в сообщении #501008 писал(а):

Достигнув некоторого абстрактного результата, математик должен суметь вернуться в исходную точку и проверить состоятельность (непротиворечивость) полученных им выводов, исходя из здравого смысла, по той причине, что жизнь она не абстрактна и однобока, а реальна и многогранна.

Общие слова. А про здравый смысл-вовсе чепуха. С давних времен и до нашего времени известны парадоксы, взывающие к здравому смыслу, а в результате анализа показывающие, что здравый смысл дает ошибочное понимание.

Цитата:

математик должен

На мой взгляд вопрос об определении математики, как Вы его ставите, совершенно малозначителен, до тех пор, конечно, пока не найдется персона, использующая избранное определение для того, чтобы диктовать математикам, что они должны.

[prophet]

shwedka в сообщении #501019 писал(а):

Академик А.Н. Колмогоров, как математик, принял эту формулировку, показав тем самым её справедливость.

Не вижу у Вас убедительной аргументции, что он показал ее справедливость.

Он ее процитировал.

Обратите внимание. Первое, данную формулировку процитировал академик математики, второе, размещена она в энциклопедии. Тем самым, Колмогоров авторитетно показал её справедливость.

shwedka в сообщении #501019 писал(а):

А про здравый смысл-вовсе чепуха. С давних времен и до нашего времени известны парадоксы, взывающие к здравому смыслу, а в результате анализа показывающие, что здравый смысл дает ошибочное понимание.

Приведите пример.

shwedka в сообщении #501019 писал(а):

пока не найдется персона, использующая избранное определение для того, чтобы диктовать математикам, что они должны.

Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них для точной формулировки их содержания. Поэтому, естественные науки (имеются ввиду её представители) вправе требовать от математики непротиворечивого аналитического аппарата.