Найти вариацию функционала

[keep-it-real]

$I=\int_{0}^{1}(xy+y'^2)dx$ по какому правилу?

[V.V.]

Надо открыть книгу по вариационному исчислению и прочитать, как решаются задачи.
Первый шаг в решении - выписать уравнение Эйлера.

[keep-it-real]

нужно использовать второе определение вариации функционала
$\delta I=\frac{\delta}{\delta\alpha}I[y(x)+\alpha \delta y(x)]\left|_{a=0}$
как практически к этому подобраться

[alcoholist]

так продифференцируйте интеграл по параметру, если уж это необходимо

[keep-it-real]

а как это?

[keep-it-real]

если пробовать по первому определению вариации функционала, то получится
$\delta I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx$ верно ли? надеюсь на помощь

[_hum_]

Нет. Вы написали просто выражение для приращения функционала (фактически $\Delta I$). Вариация же - это аналог дифференциала для функции действительного переменного. А как напрямую определяется дифференциал функции? Правильно, как главная линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента. Вот и здесь нужно выделить из этого приращения $\Delta I $ главную (по порядку величины $||\delta y||$, $||\delta y|| \rightarrow 0$) линейную (относительно $\delta y$) часть - она-то и будет искомой вариацией $\delta I$.


P.S. И, по-видимому, линейность не всегда требуется. На этот счет лучше гляньте определение лектора.

[Padawan]

Вариация функционала $I[y]=\int_a^b F(x,y,y')dx$ в задаче с закреплёнными концами равна $\delta I[y]=\int_a^b E[F](x,y,y') \delta y\, dx$, где $E[F]$ -- правая левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа. В случае задачи со свободными концами вариация имеет более сложный вид. Уточните, что Вам надо. А лучше почитайте, например, Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, или, на худой конец, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

[keep-it-real]

мне надо пользуясь первым и вторым определением, найти вариацию функционала
первое определение $\delta I=I[y+\delta y]-I[y]$
второе определение $\delta I=\frac{\delta}{\delta\alpha}I[y(x)+\alpha \delta y(x)]\left|_{a=0}$

[_hum_]

\begin{multline*}\Delta I (y; h)=\int_{0}^{1}[x(y+ h)+(y'+ h')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx = \\ \int_{0}^{1}[x h + (y'+ h')^2 - y'^{2}]dx = ... = L(y; h) + O(||h||_{C^1}^2 ).\end{multline*}
Можете найти $L(y; h)$ (линейный по $h$ функционал)?

[keep-it-real]

нет, мне честно говоря непонятна ваша запись уже после этого

Цитата:

$\int_{0}^{1}[x h + (y'+ h')^2 - y'^{2}]dx = ... = L(y; h) + O(||h||_{C^1}^2 ).$

[_hum_]

Тогда, может, начать с простого:
есть функция действительного переменного $g(u) = u^2, u\in \mathbb{R}$. В некоторой точке $u = u_0$ рассматриваются ее приращения $\Delta(u_0; h) = g(u_0 + h) - g(u_0)$ при изменении аргумента на $h$. Спрашивается, какой линейной функцией $L = L(h) $ при достаточно малых $|h|$ можно наиболее точно приблизить $\Delta(u_0; h)$ (как функцию от $h$)?

[Kallikanzarid]

Если $y \in C^1[0,1]$ с дополнительными условиями, до $\delta I(\eta) = \lim_{t \to 0}\frac{I(y + t\eta) - I(y)}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I(y + t\eta)$, где $\eta \in C^1[0,1]$ выбирается так, чтобы $y + t\eta$ удовлетворяла дополнительным условиям задачи при малых $t$, - обычная производная Фреше.

ЗЫ: подскажите, пожалуйста, короткую книгу по вариационному исчислению, написанную современным языком :)

[Padawan]

Kallikanzarid в сообщении #500996 писал(а):

Если $y \in C^1[0,1]$ с дополнительными условиями, до $\delta I(\eta) = \lim_{t \to 0}\frac{I(y + t\eta) - I(y)}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I(y + t\eta)$, где $\eta \in C^1[0,1]$ выбирается так, чтобы $y + t\eta$ удовлетворяла дополнительным условиям задачи при малых $t$, - обычная производная Фреше.

ЗЫ: подскажите, пожалуйста, короткую книгу по вариационному исчислению, написанную современным языком :)

Вы перепутали Фреше и Гато.

[_hum_]

Возможно, он имел в виду случай, когда "по Фреше" существует, а следовательно, "по Гато" будет совпадать с "по Фреше" :).

Кстати, а можно уточнить:

Padawan в сообщении #500670 писал(а):

Вариация функционала $I[y]=\int_a^b F(x,y,y')dx$ в задаче с закреплёнными концами равна $\delta I[y]=\int_a^b E[F](x,y,y') \delta y\, dx$, где $E[F]$ -- правая левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа. В случае задачи со свободными концами вариация имеет более сложный вид. Уточните, что Вам надо.

Зачем для поиска вариации вообще привлекать уравнение Эйлера и указывать, закреплены концы или нет? Это ведь нужно только для поиска экстремалей. Нет?