2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найти вариацию функционала
Сообщение30.10.2011, 22:36 


29/10/11
105
$I=\int_{0}^{1}(xy+y'^2)dx$ по какому правилу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение30.10.2011, 22:45 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Надо открыть книгу по вариационному исчислению и прочитать, как решаются задачи.
Первый шаг в решении - выписать уравнение Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение30.10.2011, 22:54 


29/10/11
105
нужно использовать второе определение вариации функционала
$\delta I=\frac{\delta}{\delta\alpha}I[y(x)+\alpha \delta y(x)]\left|_{a=0}$
как практически к этому подобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение30.10.2011, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
так продифференцируйте интеграл по параметру, если уж это необходимо

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение06.11.2011, 20:49 


29/10/11
105
а как это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 15:51 


29/10/11
105
если пробовать по первому определению вариации функционала, то получится
$\delta I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx$ верно ли? надеюсь на помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 17:37 


23/12/07
1763
Нет. Вы написали просто выражение для приращения функционала (фактически $\Delta I$). Вариация же - это аналог дифференциала для функции действительного переменного. А как напрямую определяется дифференциал функции? Правильно, как главная линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента. Вот и здесь нужно выделить из этого приращения $\Delta I $ главную (по порядку величины $||\delta y||$, $||\delta y|| \rightarrow 0$) линейную (относительно $\delta y$) часть - она-то и будет искомой вариацией $\delta I$.


P.S. И, по-видимому, линейность не всегда требуется. На этот счет лучше гляньте определение лектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 18:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Вариация функционала $I[y]=\int_a^b F(x,y,y')dx$ в задаче с закреплёнными концами равна $\delta I[y]=\int_a^b E[F](x,y,y') \delta y\, dx$, где $E[F]$ -- правая левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа. В случае задачи со свободными концами вариация имеет более сложный вид. Уточните, что Вам надо. А лучше почитайте, например, Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, или, на худой конец, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 20:25 


29/10/11
105
мне надо пользуясь первым и вторым определением, найти вариацию функционала
первое определение $\delta I=I[y+\delta y]-I[y]$
второе определение $\delta I=\frac{\delta}{\delta\alpha}I[y(x)+\alpha \delta y(x)]\left|_{a=0}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 22:00 


23/12/07
1763
\begin{multline*}\Delta I (y; h)=\int_{0}^{1}[x(y+ h)+(y'+ h')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx = \\ \int_{0}^{1}[x h + (y'+ h')^2 - y'^{2}]dx = ... = L(y; h) + O(||h||_{C^1}^2 ).\end{multline*}
Можете найти $L(y; h)$ (линейный по $h$ функционал)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 22:08 


29/10/11
105
нет, мне честно говоря непонятна ваша запись уже после этого
Цитата:
$\int_{0}^{1}[x h + (y'+ h')^2 - y'^{2}]dx = ... = L(y; h) + O(||h||_{C^1}^2 ).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение07.11.2011, 22:35 


23/12/07
1763
Тогда, может, начать с простого:
есть функция действительного переменного $g(u) = u^2, u\in \mathbb{R}$. В некоторой точке $u = u_0$ рассматриваются ее приращения $\Delta(u_0; h) = g(u_0 + h) - g(u_0)$ при изменении аргумента на $h$. Спрашивается, какой линейной функцией $L = L(h) $ при достаточно малых $|h|$ можно наиболее точно приблизить $\Delta(u_0; h)$ (как функцию от $h$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 07:11 


02/04/11
956
Если $y \in C^1[0,1]$ с дополнительными условиями, до $\delta I(\eta) = \lim_{t \to 0}\frac{I(y + t\eta) - I(y)}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I(y + t\eta)$, где $\eta \in C^1[0,1]$ выбирается так, чтобы $y + t\eta$ удовлетворяла дополнительным условиям задачи при малых $t$, - обычная производная Фреше.

ЗЫ: подскажите, пожалуйста, короткую книгу по вариационному исчислению, написанную современным языком :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 16:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Kallikanzarid в сообщении #500996 писал(а):
Если $y \in C^1[0,1]$ с дополнительными условиями, до $\delta I(\eta) = \lim_{t \to 0}\frac{I(y + t\eta) - I(y)}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I(y + t\eta)$, где $\eta \in C^1[0,1]$ выбирается так, чтобы $y + t\eta$ удовлетворяла дополнительным условиям задачи при малых $t$, - обычная производная Фреше.

ЗЫ: подскажите, пожалуйста, короткую книгу по вариационному исчислению, написанную современным языком :)

Вы перепутали Фреше и Гато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 16:48 


23/12/07
1763
Возможно, он имел в виду случай, когда "по Фреше" существует, а следовательно, "по Гато" будет совпадать с "по Фреше" :).

Кстати, а можно уточнить:
Padawan в сообщении #500670 писал(а):
Вариация функционала $I[y]=\int_a^b F(x,y,y')dx$ в задаче с закреплёнными концами равна $\delta I[y]=\int_a^b E[F](x,y,y') \delta y\, dx$, где $E[F]$ -- правая левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа. В случае задачи со свободными концами вариация имеет более сложный вид. Уточните, что Вам надо.

Зачем для поиска вариации вообще привлекать уравнение Эйлера и указывать, закреплены концы или нет? Это ведь нужно только для поиска экстремалей. Нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group