Найти вариацию функционала

[Kallikanzarid]

Padawan в сообщении #501145 писал(а):

Вы перепутали Фреше и Гато.

Да, вы правы

-- Вт ноя 08, 2011 21:10:05 --

_hum_
Клясться мамой не буду, т.к. хотя $C^1[0, 1]$ банахово, банок червей может все равно быть куча (дополнительные условия и т. д.), так что Гато безопасней :)

-- Вт ноя 08, 2011 21:11:41 --

_hum_ в сообщении #501166 писал(а):

Зачем для поиска вариации вообще привлекать уравнение Эйлера и указывать, закреплены концы или нет? Это ведь нужно только для поиска экстремалей. Нет?

Оно там просто возникает (для функционалов определенного типа), а связь с экстремалями затем следует из основной леммы вариационного исчисления.

[keep-it-real]

по порядку
$\Delta I=I[y+\delta y]-I[y]$-первое определение
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\ \int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}]dx$

[_hum_]

keep-it-real
1) неправильно раскрыли квадрат;
2) не привели окончательно к нужному виду $L(\delta y) + r(\delta y)$,
где
$L$ - линейный функционал (то есть, такой функционал $L$, что для любого числа $\lambda \in \mathbb{R}$ и произвольных непрерывно дифференцируемых функций $h_1, h_2$ выполнялось бы $L(\lambda h_1 + h_2) = \lambda L h_1 + L h_2$),
$r$ - функционал (уже не обязательно линейный), такой, что с уменьшением величины $\delta y $ (которая (величина) определяется нормой $||\delta y||_{C^1} = \sup_{x}[\delta y](x) + \sup_{x}[(\delta y)'](x)$ ) стремится к нулю быстрее по порядку, чем функционал $L(\delta y)$ (т.е. $r(\delta y)/L(\delta y) \rightarrow 0, ||\delta y||_{C^1} \rightarrow 0$).

А можно узнать, вы математик или физик? Просто не совсем понятно, на каком языке с вами вести диалог.

Ну и да,
3) так и не ответили на мой вопрос:

_hum_ в сообщении #500826 писал(а):

есть функция действительного переменного $g(u) = u^2, u\in \mathbb{R}$. В некоторой точке $u = u_0$ рассматриваются ее приращения $\Delta(u_0; h) = g(u_0 + h) - g(u_0)$ при изменении аргумента на $h$. Спрашивается, какой линейной функцией $L = L(h) $ при достаточно малых $|h|$ можно наиболее точно приблизить $\Delta(u_0; h)$ (как функцию от $h$)?

[Kallikanzarid]

_hum_
Книжку-то посоветуйте

[_hum_]

Kallikanzarid в сообщении #501220 писал(а):

_hum_
Книжку-то посоветуйте

Я не в курсе спец. книжек. А основы - это, по-моему, обычный ФАН.
А что, то, что рекомендовал Padawan,

Padawan в сообщении #500670 писал(а):

... почитайте, например, Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, или, на худой конец, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

не подходит?

[keep-it-real]

Цитата:

$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\ \int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

[_hum_]

keep-it-real в сообщении #501236 писал(а):

Цитата:

$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\ \int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

Где?

[keep-it-real]

_hum_ в сообщении #501241 писал(а):

keep-it-real в сообщении #501236 писал(а):

Цитата:

$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\ \int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

Где?

где ошибка то в раскрытии квадрата?

[_hum_]

keep-it-real в сообщении #501246 писал(а):

где ошибка то в раскрытии квадрата?

$(y'+\delta y')^2 \neq y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}$

На всякий случай: $y'\delta y' \neq \delta y'^2$, потому как $\delta y$ является отдельной функцией (которую, чтобы не путаться, лучше бы было обозначить через $h$), а не произведением $\delta \cdot y$$. Соответственно, $\delta y' = (\delta y)'$, а не $\delta\cdot y'$.

[keep-it-real]

ну понятно, что где-то здесь ошибка, только где конкретно?
так что ли $(y'+\delta y')^2=y'^{2}+2\delta y' y'+(\delta y')^{2}$

[_hum_]

keep-it-real в сообщении #501253 писал(а):

ну понятно, что где-то здесь ошибка, только где конкретно?
так что ли $(y'+\delta y')^2=y'^{2}+2\delta y' y'+(\delta y')^{2}$

Типа того.

[keep-it-real]

$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\ \int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'y'+(\delta y')^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[x\delta y +2\delta y'y'+(\delta y')^{2}]dx=\int_{0}^{1} x\delta y dx+2\int_{0}^{1}\delta y'y'+(\delta y')^{2}dx $

[_hum_]

Ну и? Что предлагаете в качестве функционала $L$, а что в качестве $r$ и почему?

[keep-it-real]

первый интеграл скорее всего $L$,интуитивно правда

[_hum_]

Будем гадать? Или возьмем и проверим требуемые условия, указанные ранее, см. сообщение #501217

Еще раз спрашиваю, у вас математическая специальность? Вы знакомы с понятием нормы?