Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней

[gris]

Почему?
$\lim\limits_{x\to 0} e^{-1/x^2}=0$

(2 ewert)

А тянуть рассуждения о совести нации лучше? Тут хоть вспомнишь что-то умное, задумаешься, почувствуешь какое-то, в некотором роде, духовное наслаждение, так сказать, паренье этакое...

[BVR]

Я имел в виду первый пост ewertа. То есть если положить, что она равна нулю на каком то промежутке, например, $[-1, 1]$, то в его концах будет разрыв.
Еще нашел в Фихтенгольце, что можно доказать, что ряд Тейлора функции $(1-x)^n$, везде, где он сходится, сходится именно к ней.

[gris]

Он имел в виду (надеюсь) то, что эту вот функцию $e^{-1/x^2}$, ну как бы график ея, можно разрезать в нуле, развести до концов нужного отрезка, а на нём самом доопределить нулём. Ну вот такая контрфинитная функция: равная нулю на заданном отрезке, не равная нулю вне его и бесконечно дифференцируемая.

Я, кстати, вначале подумал, что Вы хитро закамуфлировали подвох, считая окрестность обязательно открытой. То есть функция не совпадает со своим рядом Тейлора исключительно на $(-\infty,a]\cup[b,\infty)$
Ну то есть при $x<4$ совпадает, а при $x=4$ уже нет.

[BVR]

А. тогда понятнее, вроде.

Я не камуфлировал. Открытость или замкнутость множества, где ряд Тейлора сходится не к самой функции не имеет значения. Просто хотелось бы, чтобы это было не в одной точке.

В фихтенгольце на эту тему тот же самый пример с $e^{-1/x^2}$ и точкой $x=0$
Щас еще в книжках пороюсь..

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #499765 писал(а):

А тянуть рассуждения о совести нации лучше?

В определённом смысле -- лучше. Там хоть тема такая себе, сама по себе оффтопичная.

(Впрочем, я даже и там стараюсь сдерживать себя. Ну насколько могу, конешно.)

BVR в сообщении #499798 писал(а):

В фихтенгольце на эту тему тот же самый пример с $e^{-1/x^2}$ и точкой $x=0$
Щас еще в книжках пороюсь..

Да не надо никаких книжек -- этот контрпример общепринят. А если приспичит, то разрезать и раздвинуть его никто запретить не в силах.

[BVR]

Да. Я уже увидел, что этот пример везде. И в мат. энциклопедии и в примерах, которые гугл мне накидал. Абидна...
Так может имеет место такое: если коэффициенты ряда тейлора некоторой ф-ции не равны нулю (ну или константе), то этот ряд тейлора сходится к данной функции на всей области его сходимости?

[ИСН]

Вашу функцию можно сложить с любой другой функцией, а также с хлебом и горчицей. Получится функция, у которой коэффициенты не равны нулю, однако - - -

[gris]

Не коэффициенты, а сама функция не равна константе, наверное.
Нет, это не так. Добавьте к той, "разведённой", функции синус или косинус и Вы получите несовпадение вне отрезка.

[BVR]

ИСН в сообщении #499838 писал(а):

а также с хлебом и горчицей

Да уж. От горчицы у ряда остаточный член закрутится в спираль и ни с чем приличным не совпадет.
Утром попробую косинус прибавить