2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 16:16 
Аватара пользователя
Почему?
$\lim\limits_{x\to 0} e^{-1/x^2}=0$

(2 ewert)

А тянуть рассуждения о совести нации лучше? Тут хоть вспомнишь что-то умное, задумаешься, почувствуешь какое-то, в некотором роде, духовное наслаждение, так сказать, паренье этакое...

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 17:06 
Я имел в виду первый пост ewertа. То есть если положить, что она равна нулю на каком то промежутке, например, $[-1, 1]$, то в его концах будет разрыв.
Еще нашел в Фихтенгольце, что можно доказать, что ряд Тейлора функции $(1-x)^n$, везде, где он сходится, сходится именно к ней.

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 17:13 
Аватара пользователя
Он имел в виду (надеюсь) то, что эту вот функцию $e^{-1/x^2}$, ну как бы график ея, можно разрезать в нуле, развести до концов нужного отрезка, а на нём самом доопределить нулём. Ну вот такая контрфинитная функция: равная нулю на заданном отрезке, не равная нулю вне его и бесконечно дифференцируемая.

Я, кстати, вначале подумал, что Вы хитро закамуфлировали подвох, считая окрестность обязательно открытой. То есть функция не совпадает со своим рядом Тейлора исключительно на $(-\infty,a]\cup[b,\infty)$
Ну то есть при $x<4$ совпадает, а при $x=4$ уже нет. :-)

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 17:47 
А. тогда понятнее, вроде.

Я не камуфлировал. Открытость или замкнутость множества, где ряд Тейлора сходится не к самой функции не имеет значения. Просто хотелось бы, чтобы это было не в одной точке.

В фихтенгольце на эту тему тот же самый пример с $e^{-1/x^2}$ и точкой $x=0$
Щас еще в книжках пороюсь..

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 19:21 

(Оффтоп)

gris в сообщении #499765 писал(а):
А тянуть рассуждения о совести нации лучше?

В определённом смысле -- лучше. Там хоть тема такая себе, сама по себе оффтопичная.

(Впрочем, я даже и там стараюсь сдерживать себя. Ну насколько могу, конешно.)


BVR в сообщении #499798 писал(а):
В фихтенгольце на эту тему тот же самый пример с $e^{-1/x^2}$ и точкой $x=0$
Щас еще в книжках пороюсь..

Да не надо никаких книжек -- этот контрпример общепринят. А если приспичит, то разрезать и раздвинуть его никто запретить не в силах.

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 19:35 
Да. Я уже увидел, что этот пример везде. И в мат. энциклопедии и в примерах, которые гугл мне накидал. Абидна...
Так может имеет место такое: если коэффициенты ряда тейлора некоторой ф-ции не равны нулю (ну или константе), то этот ряд тейлора сходится к данной функции на всей области его сходимости?

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 19:39 
Аватара пользователя
Вашу функцию можно сложить с любой другой функцией, а также с хлебом и горчицей. Получится функция, у которой коэффициенты не равны нулю, однако - - -

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 19:42 
Аватара пользователя
Не коэффициенты, а сама функция не равна константе, наверное.
Нет, это не так. Добавьте к той, "разведённой", функции синус или косинус и Вы получите несовпадение вне отрезка.

 
 
 
 Re: Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней
Сообщение05.11.2011, 20:21 
ИСН в сообщении #499838 писал(а):
а также с хлебом и горчицей


Да уж. От горчицы у ряда остаточный член закрутится в спираль и ни с чем приличным не совпадет. :-)
Утром попробую косинус прибавить

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group