Что замечательного в 1 замечательном пределе?

[samuil]

Что замечательного в 1 замечательном пределе и его следствиях? По-моему удобнее пользоваться правилами эквивалентностей бесконечно малых гораздо удобней (понимаю, что это почти одно и тоже, но тем не менее).

Допустим есть такой пример

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2\arctg x}{\sin {7x}\big(1-\cos ({x/2})\big)}$

Очевидно, что тут гораздо удобнее применить эквивалентости, чем "переворачить трех-четырех этажные конструкции" и возиться с лишними $x$-ами))

Вот второй замечательный предел -- действительно замечательный!!! Есть ли примеры, где удобнее пользоваться первым замечательным пределом и его следствиями, чем эквивалентностями.

[gris]

а как мы докажем эквивалентность $\sin x \sim x$ вблизи нуля без первого замечательного предела? Он тем и замечателен, что порождает кучу удобных эквивалентностей. Так что пользуемся-то именно следствиями.

[venco]

samuil в сообщении #499345 писал(а):

Вот второй замечательный предел -- действительно замечательный!!!

А второй замечательный предел - тоже эквивалентность бесконечно малых: $\ln(1+x)=x+o(x)$.

[ewert]

samuil в сообщении #499345 писал(а):

Что замечательного в 1 замечательном пределе и его следствиях?

Этот предел замечателен тем, что он называется замечательным.

По существу же: пределы и соответствующие эквивалентности -- это, разумеется, одно и то же. Просто в разных формулировках.

[olenellus]

topic48223.html

"Первый замечательный предел - так ли замечателен?"

[ewert]

olenellus в сообщении #499361 писал(а):

http://dxdy.ru/topic48223.html

Там как-то не до конца обсосано. Длина кривой -- штука и впрямь нетривиальная. Но вот длина выпуклой кривой, и уж тем более длина конкретно дуги окружности -- вполне корректно прошибаема на вполне школьном уровне.

[samuil]

Ок, спасибо! Я имел ввиду то, что при решении практических задач на пределы - правила эквивалентностей использовать, чем замечательный предел.

Вот в практических задачах второй замечательный предел не заменить правилом эквивалентностей.

Может я не прав, собственно по этой причине и возник вопрос!

[ewert]

samuil в сообщении #499365 писал(а):

Вот в практических задачах второй замечательный предел не заменить правилом эквивалентностей.

Запросто заменить. Это лишь вопрос оформления. Кто как хочет -- тот так и оформляет.

[Klad33]

Первый замечательный порождает еще более замечательные, например

$sin(x)-x \sim \frac{1}{6}\bigg(1-e^{x^3}\bigg)$ при $x \to 0 $

Не верите - проверьте!

[ewert]

Klad33 в сообщении #499481 писал(а):

Первый замечательный порождает еще более замечательные, например

$sin(x)-x \sim \frac{1}{6}\bigg(1-e^{x^3}\bigg)$ при $x \to 0 $

Не-а, не порождает, тут так дёшево не отделаешься.

[Mega Sirius12]

Цитата:

Первый замечательный порождает еще более замечательные, например

$sin(x)-x \sim \frac{1}{6}\bigg(1-e^{x^3}\bigg)$ при $x \to 0 $

Не верите - проверьте!

только до бесконечно малых третьего порядка