sin(n): Простая, но жутко интересная задачка

[незваный гость]

dm писал(а):

Еще можно ставить вопрос о

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\sin n,\sin(n+1))$$

.

Я бы написал
$\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(\sin x,\sin(x+1)){\rm d}x$. Что-то не так? Двойной интеграл был бы неверно, $\sin n$ и $\sin (n+1) $ зависимы.

[Padawan]

незванный гость писал(а):

$n \mod 2\pi$ равномерно распределена на $[0,2\pi]$

Можно пояснить, что вы имеете ввиду, когда пишете "равномерно распределена"?

[Dan_Te]

Наверное, равномерная распределенность в данном случае означает, что относительная частота попадания точек последовательности sin n в интервал [a,b] стремится к $\frac{b-a}{2\pi}$

[Padawan]

Я так и подумал. Только не sin n , а n mod 2*Pi.
Интересно, как бы это показать?
Если это действительно так, то к интегралу уже перейти нетрудно.

[dm]

незванный гость писал(а):

Я бы написал
$\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(\sin x,\sin(x+1)){\rm d}x$. Что-то не так?

Все так.

Dan_Te писал(а):

Наверное, равномерная распределенность в данном случае означает, что относительная частота попадания точек последовательности sin n в интервал [a,b] стремится к $\frac{b-a}{2\pi}$

Речь шла о $\{n/2\pi\}$. Для $\sin n$ это не так, там возникает плотность распределения (ее посчитал незванный гость).

[dm]

Padawan писал(а):

Можно пояснить, что вы имеете ввиду, когда пишете "равномерно распределена"?

Кейперс Л., Нидеррейтер Г., Равномерное раcпределение последовательностей, 1985 (pdf, 9739 KB, Russian)
В Колхозе почему-то не нахожу , но вроде бы здесь можно заказать на мыло: http://mf.grsu.by/other/lib/PDF/Matematika/raznoe

[Dan_Te]

Да, я не то написал.