2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 22:47 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Решить задачу Коши:
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
$y(1)=1$.
$\frac{\partial}{\partial y}(y\sqrt{1-y^2})\not =\frac{\partial}{\partial x}(x\sqrt{1-y^2}+y)$.
Получается, что это уравнение не в полных дифференциалах. Так же оно с не разделяющимися переменными.
Подскажите пожалуйста как его решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
напрашивается что-то типа $y=\sin f$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 22:58 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
ИСН в сообщении #497232 писал(а):
напрашивается что-то типа $y=\sin f$

Вы имеете ввиду замену?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
ну. не знаю, чо там дальше, но хоть корни эти - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 23:11 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
$\sin{f}\cos{f}dx+(x(\cos{f})^2+\sin{f}\cos{f})df=0$
не вижу что это дает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 23:15 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Мне тоже немного лень смотреть, что это даёт, но Вы даже поленились $\cos f$ сократить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение29.10.2011, 23:22 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
AKM в сообщении #497242 писал(а):
Мне тоже немного лень смотреть, что это даёт, но Вы даже поленились $\cos f$ сократить...

Специально не сократил, чтобы не потерялась цепочка рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение30.10.2011, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
Линейное уравнение относительно $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение30.10.2011, 07:29 


04/09/11
27
Я бы решал через интегрирующий множитель, то есть нашел бы такую функцию $\mu(x,y)$, после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения станет полным дифференциалом.

-- 30.10.2011, 12:42 --

Посмотрим, не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя, зависящего только от $y$.
Пусть $M=y \sqrt{1-y^2}$ $, N=x \sqrt{1-y^2}+y$
Заметив, что
$$\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{\sqrt{1-y^2}-(\sqrt{1-y^2}+y\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^2}})}{y\sqrt{1-y^2}}=\frac{y}{1-y^2}$$

Отсюда делаем вывод, что уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от $y$. Находим его: $\frac{\partial \ln \mu}{\partial y}=\frac{y}{1-y^2}$.

Или $\ln \mu = -\frac{1}{2}\ln(1-y^2)$, т.е. $\mu=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирующий множитель $\mu$, получаем уравнение в полных дифференциалах:
$$ydx+(x+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}})dy=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение30.10.2011, 10:51 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Eiffel, спасибо за исчерпывающее объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение30.10.2011, 11:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Иван_85 в сообщении #497339 писал(а):
Eiffel, спасибо за исчерпывающее объяснение.

Это лишь если начальство требует обязательно именно этого способа. А так -- лучше прислушаться к

Someone в сообщении #497273 писал(а):
Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
Линейное уравнение относительно $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить задачу Коши
Сообщение01.11.2011, 12:40 


17/05/11
158
Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):
Решить задачу Коши:
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
$y(1)=1$.
$\frac{\partial}{\partial y}(y\sqrt{1-y^2})\not =\frac{\partial}{\partial x}(x\sqrt{1-y^2}+y)$.
Получается, что это уравнение не в полных дифференциалах. Так же оно с не разделяющимися переменными.
Подскажите пожалуйста как его решить.


1.проверьте на однородность;
2.проверьте на линейность;
3.сделайте замены, покрутите, повертите...

А вообще вольфрамовский решатель тип уравнения пишет :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group