Решить задачу Коши

[Иван_85]

Решить задачу Коши:
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
$y(1)=1$.
$\frac{\partial}{\partial y}(y\sqrt{1-y^2})\not =\frac{\partial}{\partial x}(x\sqrt{1-y^2}+y)$.
Получается, что это уравнение не в полных дифференциалах. Так же оно с не разделяющимися переменными.
Подскажите пожалуйста как его решить.

[ИСН]

напрашивается что-то типа $y=\sin f$

[Иван_85]

ИСН в сообщении #497232 писал(а):

напрашивается что-то типа $y=\sin f$

Вы имеете ввиду замену?

[ИСН]

ну. не знаю, чо там дальше, но хоть корни эти - - -

[Иван_85]

$\sin{f}\cos{f}dx+(x(\cos{f})^2+\sin{f}\cos{f})df=0$
не вижу что это дает.

[AKM]

Мне тоже немного лень смотреть, что это даёт, но Вы даже поленились $\cos f$ сократить...

[Иван_85]

AKM в сообщении #497242 писал(а):

Мне тоже немного лень смотреть, что это даёт, но Вы даже поленились $\cos f$ сократить...

Специально не сократил, чтобы не потерялась цепочка рассуждений.

[Someone]

Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):

$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,

Линейное уравнение относительно $x$.

[Eiffel]

Я бы решал через интегрирующий множитель, то есть нашел бы такую функцию $\mu(x,y)$, после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения станет полным дифференциалом.

-- 30.10.2011, 12:42 --

Посмотрим, не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя, зависящего только от $y$.
Пусть $M=y \sqrt{1-y^2}$ $, N=x \sqrt{1-y^2}+y$
Заметив, что

$$\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{\sqrt{1-y^2}-(\sqrt{1-y^2}+y\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^2}})}{y\sqrt{1-y^2}}=\frac{y}{1-y^2}$$

Отсюда делаем вывод, что уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от $y$. Находим его: $\frac{\partial \ln \mu}{\partial y}=\frac{y}{1-y^2}$.

Или $\ln \mu = -\frac{1}{2}\ln(1-y^2)$, т.е. $\mu=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирующий множитель $\mu$, получаем уравнение в полных дифференциалах:

$$ydx+(x+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}})dy=0$$

[Иван_85]

Eiffel, спасибо за исчерпывающее объяснение.

[ewert]

Иван_85 в сообщении #497339 писал(а):

Eiffel, спасибо за исчерпывающее объяснение.

Это лишь если начальство требует обязательно именно этого способа. А так -- лучше прислушаться к

Someone в сообщении #497273 писал(а):

Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):

$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,

Линейное уравнение относительно $x$.

[coll3ctor]

Иван_85 в сообщении #497230 писал(а):

Решить задачу Коши:
$y\sqrt{1-y^2}dx+(x\sqrt{1-y^2}+y)dy=0$,
$y(1)=1$.
$\frac{\partial}{\partial y}(y\sqrt{1-y^2})\not =\frac{\partial}{\partial x}(x\sqrt{1-y^2}+y)$.
Получается, что это уравнение не в полных дифференциалах. Так же оно с не разделяющимися переменными.
Подскажите пожалуйста как его решить.

1.проверьте на однородность;
2.проверьте на линейность;
3.сделайте замены, покрутите, повертите...

А вообще вольфрамовский решатель тип уравнения пишет