В чём польза континуум гипотезы?

[Котофеич]

Macavity писал(а):

Например, размышления Пенроуза (не о вселенной, а о вселенных) из той же книги:

Цитата:

Более того, сингулярности коллапсирующих и расширяющихся вселенных будут иметь между собой в этом случае что-то общее, в то время как, похоже, они имеют чрезвычайно различные геометрии.

И главная проблема с бесконечностями заключается в том, что они "могут начинаться" там где заканчиваются возможности познания мира человеком. К "краю вселенной" не подлетишь, да и не увидишь его. Что там за фундаментальной длиной тоже непонятно.
Вот и выходит, что в теории физика практически всюду использует бесконечности (соответствующий математический аппарат).

Это все устарело. Большинство теоретиков, теперь исходят из отсутствия бесконечности, что в частности выражает
Time uncertainty principle

\Delta{t} >h/2\pi\Delta{E_{P}}$

[Macavity]

Котофеич писал(а):

Macavity писал(а):

Например, размышления Пенроуза (не о вселенной, а о вселенных) из той же книги:

Цитата:

Более того, сингулярности коллапсирующих и расширяющихся вселенных будут иметь между собой в этом случае что-то общее, в то время как, похоже, они имеют чрезвычайно различные геометрии.

И главная проблема с бесконечностями заключается в том, что они "могут начинаться" там где заканчиваются возможности познания мира человеком. К "краю вселенной" не подлетишь, да и не увидишь его. Что там за фундаментальной длиной тоже непонятно.
Вот и выходит, что в теории физика практически всюду использует бесконечности (соответствующий математический аппарат).

Это все устарело. Большинство теоретиков, теперь исходят из отсутствия бесконечности, что в частности выражает
Time uncertainty principle

\Delta{t} >h/2\pi\Delta{E_{P}}$

Мне совершенно непонятно почему принцип неопределенности Гейзенберга должен означать отсутствие бесконечности в природе. Мне кажется, что скорее наоборот - волновое уравнение + принцип суперпозиции, интегралы по всем путям, вообще амплитудные не основные состояния - их континуум и они комплекснозначны, все указывает, что бесконечности квантованные или непрерывные могут встречаться в природе, но современная наука не готова с ними работать.

[Котофеич]

К гейзенбергу это неравенство не имеет никакого отношения. В обычной КМ время, с чисто формальной точки зрения, определено однозначно как и в классической механике. Это неравенство напоминает внешне известное неравенство из КМ, но выводится из других соображений.
http://www.citebase.org/abstract?id=oai ... %2F0004074
\Delta{t} >h/2\pi\Delta{E_{P}}$
Время не может принимать сколь угодно малых значений, потому что в природе, как говорит
опыт, есть максимально возможная, т.н. планковская энергия
\Delta{E_{P}}<infinite$

Вообще КМ, основанная на обычной модели времени, не очень последовательна, хотя
это обстоятельство и не сказывается существенно в нерелятивистском случае на ее приложения
Quantum mechanical time contradicts the uncertainty principl:?:
Hitoshi Kitada
Department of Mathematical Sciences
University of Tokyo
http://kims.ms.u-tokyo.ac.jp/timeVII.html
Abstract. The a priori time in conventional quantum mechanics is shown to contradict
the uncertainty principle. A possible solution is given.

[AD]

Забавный пример применения леммы Цорна и континуум-гипотезы в теории меры:

http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/quickie.pdf

(приблизительный перевод): пусть дана цепь множеств меры нуль по Лебегу на отрезке [0,1], то есть система множеств меры нуль на отрезке [0,1], линейно упорядоченная по теоретико-множественному включению. Для любой ли такой системы объединение всех ее множеств будет множеством меры нуль? Если да, то по лемме Цорна существовало бы наибольшее множество меры нуль по Лебегу, что есть бред (добавим еще одну точку из [0,1] - множество увеличится, но останется множеством меры нуль). А раз это неверно, возникает вопрос: насколько большим может быть такое объединение? Так вот, из континуум-гипотезы следует, что так можно получить весь отрезок [0,1].

[Борис Лейкин]

О, чего нашёл, Юрий Манин про Кантора.
http://arxiv.org/abs/math.AG/0209244
Georg Cantor and his heritage
Authors: Yuri I. Manin
Talk at the meeting of the German Mathematical Society and the Cantor Medal Award Ceremony

[Борис Лейкин]

Victor1997 писал(а):

Бесконечность - это процесс (алгоритм) вычислений, СЧЕТНЫЙ по самому своему смыслу.

Это вот чего ещё за вычисление с вещественными числами?
en.wikipedia.org/wiki/Real_computation
Computing over the Reals: Where Turing Meets Newton
Lenore Blum
The author explains how the notions of the computation and computational complexity for binary Turing machines can be extended to machines computing over real numbers with approximation and round-off.
Computing over the Reals: Foundations for Scientific Computing
Mark Braverman and Stephen Cook
The authors explain the "bit-model" of computability and complexity of real functions and subsets of real n-space and argue that this is a good way to formalize problems of scientific computation.
en.wikipedia.org/wiki/Continuous_Quantum_Computation

[er]

Борис Лейкин писал(а):

В чём польза континуум гипотезы?

На историю математики можно посмотреть. Континуум гипотезу использовали для доказательства разных фактов и до работ Геделя и Коэна. В дискрептивной теории множеств, анализе, топологии. В книжке Куратовского "Топология" используется континуум гипотеза, в старом стиле, можно сказать..

Как гипотеза Римана сейчас используется, так раньше использовали континуум гипотеза.

Одно из типичных применений континуум гипотезы.

Скажем, что множество чисел $M\subset \mathbb{R}$ концентрируется вокруг рациональных чисел $\mathbb{Q}$, если для любого открытого $U$, $\mathbb{Q}\subset U\subset \mathbb{R}$, множество $M\setminus U$ не более чем счетно.

Гипотеза. Существует несчетное $M\subset \mathbb{R}$, концентрирующиеся вокруг рациональных чисел.

Эта гипотеза верна в континуум гипотезе. Но отрицание этой гипотезы совместимо с ZFC.

[Руст]

Континиум гипотеза как и аксиома выбора бесполезны для реальной конструктивной математики. То, что интеграл Лебега (элемент не конструктивной математики) вполне уживается в сочетании с конструктивной, по видимому связано с наличием его конструктивного аналога. А выше упомянутые вещи не могут иметь конструктивного аналога, а следовательно абсолютно бесполезные для реальной математики вещи.

[er]

Руст писал(а):

Континиум гипотеза как и аксиома выбора бесполезны для реальной конструктивной математики.

Есть такая полезная теорема, что непрерывная функция на отрезке достигает максимума. Ради конструктивности, Вы будите ее доказывать для многочленов?

Логики постарались, придумали пример "человеческого" арифметического утверждения, которое доказывается трансфинитной индукцией до первого несчетного ординала, а по другому никак.

Есть какие то теоремы из вещественного анализа, которые независимы от ZFC.. Сейчас не помню..

Что нибуть вполне простое из функана..

Гипотеза. Пусть $L$ банохово пространство, в котором каждое выпуклое замкнутое подмножество является пересечением счетного числа открытых полупространств. Тогда $L$ является сепарабельным баноховым пространством.

Эта гипотеза не зависит от ZFC.

Дебаты о конструктивности прошли в конце 19-го века. Вроде, ради конструктивности, никто не собирается отказыватся от удобных теорем существования

[Руст]

er писал(а):

Дебаты о конструктивности прошли в конце 19-го века. Вроде, ради конструктивности, никто не собирается отказыватся от удобных теорем существования

Я не призываю отказаться от удобных теорем, которые дают приложения и к конструктивной математике, без которых доказательства (чисто конструктивные) стали бы слишком громоздкими и неудобными. Просто я сказал, что континиум гипотеза, отчасти и аксиома выбора, не могут дать и удобных теорем, имеющих приложения в конструктивной математике.

[Someone]

Руст, ну зачем проповедовать такие крайности? И что Вы называете конструктивной математикой? Часом, не обычный математический анализ? Тоже мне - образец конструктивности.

Насчёт континуум-гипотезы не знаю. Кто-то из великих говорил, что она, очевидно, ложна, хотя и непротиворечива (для контраста: К.Куратовский и А.Мостовский в своей книге по теории множеств не включили аксиому регулярности в список аксиом теории множеств, написав при этом, что эта аксиома, очевидно, истинна; чего они добились, отказавшись от этой "очевидно истинной" аксиомы, кроме совершенно ненужных проблем при определении натуральных чисел - не знаю).

А роль аксиомы выбора в математическом анализе исследовалась. Как я понял, математический анализ без аксиомы выбора может оказаться, мягко выражаясь, весьма странным.

Ф.А.Медведев. Ранняя история аксиомы выбора."Наука", Москва, 1982.

[Alaev]

PAV писал(а):

Поэтому, если у нас есть две альтернативные модели для описания чего-либо, то единственный способ выбрать, какая из них подходит - это придумать такой реальный эксперимент, результаты которого предсказываются этими моделями по-разному. В нашем случае, учитывая, что в реальном эксперименте мы вообще всегда наблюдаем только конечные множества, придумать такой эксперимент, в котором бы проявилась континуум-гипотеза по-моему нереально. Так что к реальности это не имеет отношения, можете считать обе теории одинаково подходящими.

Допустим, что в один не слишком прекрасный день в ZFC обнаруживается противоречие. Математики начинают спешно искать другие основания теории множеств и в конце концов находят их, заткнув тем самым пробоину. Новая система аксиом оказывается столь хороша, удобна и очевидна, что через некотрое время становится общепризнанной.

Но при этом оказывается, что CH следует из самых основных принципов этой новой системы. Может быть, это тоже стоит рассматривать как ещё один способ признать её "истинной"?

[Brukvalub]

Alaev писал(а):

Допустим, что в один не слишком прекрасный день в ZFC обнаруживается противоречие....

Сначала стоит найти какое-нибудь противоречие (а я убеждён, что сделать это не удастся), а уж затем строить разные там критерии проверки СН на истинность. Как учили древние: "не стоит множить сущности без надобности".

[Котофеич]

Brukvalub писал(а):

Alaev писал(а):

Допустим, что в один не слишком прекрасный день в ZFC обнаруживается противоречие....

Сначала стоит найти какое-нибудь противоречие (а я убеждён, что сделать это не удастся), а уж затем строить разные там критерии проверки СН на истинность. Как учили древние: "не стоит множить сущности без надобности".

Скажите пожалуйста, откуда такая уверенность

[Brukvalub]

Здесь я склонен следовать принципу Марксистско -Ленинского учения: "Практика-критерий Истины" Не волнуйтесь, я помню так ничем и не кончившуюся дискуссию о якобы найденных Вами противоречиях в ZFC, но те Ваши доводы меня никак не убедили, а других покушений на ZFC я не видел.