Здравствуйте уважаемые!
В книге Розендорна-Ефимова дается определение и пример бесконечномерного пространства. Хотелось бы спросить у Вас кое-что.
Линейное пространство называется
бесконечномерным, если для любого целого числа

в нем найдется линейно независимая система, состоящая из

векторов.
Пример: Линейное пространство непрерывных на сегменте функций является бесконечномерным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть степенные функции

. Нетрудно установить их линейную зависимость. В самом деле, любая их линейная комбинация представляет собой многочлен степени не выше

:

Но у всякого многочлена с ненулевыми коэффициентами есть лишь конечное число корней, поэтому

, т.е.

тогда и только тогда, когда

.
Тем самым показано, что рассматриваемые элементы независимы, а само пространство бесконечномерно, поскольку число

может быть сколь угодно большим.
Может ли кто-нибудь чуть подробнее объяснить смысл абзаца, начинающегося со слов "Но у всякого ...."? Мне этот абзац не совсем понятен.
С уважением, Whitaker.