2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 12:58 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Здравствуйте уважаемые!
В книге Розендорна-Ефимова дается определение и пример бесконечномерного пространства. Хотелось бы спросить у Вас кое-что.

Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа $N>0$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ векторов.
Пример: Линейное пространство непрерывных на сегменте функций является бесконечномерным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть степенные функции $1, \tau, \tau^2, \dots, \tau^N$. Нетрудно установить их линейную зависимость. В самом деле, любая их линейная комбинация представляет собой многочлен степени не выше $N$: $\alpha_0+\alpha_1\tau+\alpha_2\tau^2+\dots+\alpha_N\tau^N=p(\tau)$
Но у всякого многочлена с ненулевыми коэффициентами есть лишь конечное число корней, поэтому $p(\tau)\equiv 0$, т.е. $\{p(\tau)\}=\theta$ тогда и только тогда, когда $\alpha_0=\alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_N=0$.
Тем самым показано, что рассматриваемые элементы независимы, а само пространство бесконечномерно, поскольку число $N$ может быть сколь угодно большим.
Может ли кто-нибудь чуть подробнее объяснить смысл абзаца, начинающегося со слов "Но у всякого ...."? Мне этот абзац не совсем понятен.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 13:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
Whitaker в сообщении #496763 писал(а):
смысл абзаца, начинающегося со слов "Но у всякого ...."

Это -- ссылка на следствие из теоремы Безу: если не все коэффициенты равны нулю и $a_m$ -- старший из ненулевых коэффициентов, то $p(\tau)=a_m(\tau-t_1)(\tau-t_2)\cdots s(\tau)$, где многочлен $s(\tau)$ корней уже не имеет. Естественно, такое выражение не может обращаться в ноль во всех точках. Т.е. никакая нетривиальная комбинация указанного вида не может давать нулевую функцию, а это и означает линейную независимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 14:16 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Спасибо большое ewert!
Я понял!

-- Пт окт 28, 2011 14:26:46 --

ewert я вот только недавно начал изучение Линейной алгебры. Такой вопрос у меня возник: Вообще, бесконечномерные пространства в каких разделах больше всего изучают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 14:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
В функциональном анализе. Линейная алгебра к ним вообще отношения не имеет. Там этот пример был приведён лишь для расшевеления мозгов -- что, дескать, и такие случаи бывают (в принципе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 14:44 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Спасибо за информацию, ewert!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 17:06 


02/04/11
956
Whitaker в сообщении #496795 писал(а):
Вообще, бесконечномерные пространства в каких разделах больше всего изучают?

Они периодически вылезают в самых разных местах, но наибольший интерес представляют бесконечномерные топологические векторные пространства и обобщения на них известных структур на $\mathbb{R}^n$ (примеры: норма, скалярное произведение), их изучают в функциональном анализе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 20:49 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Kallikanzarid, а сам предмет Линейной алгебры широко используется в Функциональном анализе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:00 


02/04/11
956
Whitaker в сообщении #496914 писал(а):
Kallikanzarid, а сам предмет Линейной алгебры широко используется в Функциональном анализе?

Шире некуда :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert в сообщении #496813 писал(а):
В функциональном анализе. Линейная алгебра к ним вообще отношения не имеет.

Интересно, как это не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
Не очень широко вообще-то. Т.е. вообще-то там ЛА -- лишь техническое средство, причём далеко не всегда (хоть и часто) используемое. С другой стороны, и далеко не всё, чем интересуется собственно ЛА, используется в ФА. В общем так: функциональный анализ можно считать некоторым естественным развитием идеологии линейной алгебры, но в своём развитии он довольно далеко оторвался от своей прародительницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert в сообщении #496941 писал(а):
Т.е. вообще-то там ЛА -- лишь техническое средство, причём далеко не всегда (хоть и часто) используемое.

А разве она не поставляет весь понятийный аппарат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
Munin в сообщении #496940 писал(а):
Интересно, как это не имеет.

Молча. Не имеет -- и точка. Линейная алгебра занимается исключительно конечномерными пространствами. И если временами даёт более общие понятия, то не более чем на уровне общей аксиоматики, которая (в рамках именно линейной алгебры) далее никуда не ведёт.

-- Пт окт 28, 2011 23:21:03 --

Munin в сообщении #496943 писал(а):
А разве она не поставляет весь понятийный аппарат?

Не весь. Существенную часть, но -- далеко не весь. Скажем, понятия полноты и компактности к линейноалгебраическим идеям вообще ни малейшего отношения не имеют, это -- сугубо аналитические отпрыски.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение28.10.2011, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert в сообщении #496947 писал(а):
Скажем, понятия полноты и компактности к линейноалгебраическим идеям вообще ни малейшего отношения не имеют, это -- сугубо аналитические отпрыски.

Скажем, сугубо топологические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]
Сообщение29.10.2011, 06:57 


02/04/11
956
ewert в сообщении #496947 писал(а):
Линейная алгебра занимается исключительно конечномерными пространствами.

Вы жестоко ошибаетесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group