Бесконечномерное пространство [Линейная алгебра]

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые!
В книге Розендорна-Ефимова дается определение и пример бесконечномерного пространства. Хотелось бы спросить у Вас кое-что.

Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа $N>0$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ векторов.
Пример: Линейное пространство непрерывных на сегменте функций является бесконечномерным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть степенные функции $1, \tau, \tau^2, \dots, \tau^N$. Нетрудно установить их линейную зависимость. В самом деле, любая их линейная комбинация представляет собой многочлен степени не выше $N$: $\alpha_0+\alpha_1\tau+\alpha_2\tau^2+\dots+\alpha_N\tau^N=p(\tau)$
Но у всякого многочлена с ненулевыми коэффициентами есть лишь конечное число корней, поэтому $p(\tau)\equiv 0$, т.е. $\{p(\tau)\}=\theta$ тогда и только тогда, когда $\alpha_0=\alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_N=0$.
Тем самым показано, что рассматриваемые элементы независимы, а само пространство бесконечномерно, поскольку число $N$ может быть сколь угодно большим.
Может ли кто-нибудь чуть подробнее объяснить смысл абзаца, начинающегося со слов "Но у всякого ...."? Мне этот абзац не совсем понятен.

С уважением, Whitaker.

[ewert]

Whitaker в сообщении #496763 писал(а):

смысл абзаца, начинающегося со слов "Но у всякого ...."

Это -- ссылка на следствие из теоремы Безу: если не все коэффициенты равны нулю и $a_m$ -- старший из ненулевых коэффициентов, то $p(\tau)=a_m(\tau-t_1)(\tau-t_2)\cdots s(\tau)$, где многочлен $s(\tau)$ корней уже не имеет. Естественно, такое выражение не может обращаться в ноль во всех точках. Т.е. никакая нетривиальная комбинация указанного вида не может давать нулевую функцию, а это и означает линейную независимость.

[Whitaker]

Спасибо большое ewert!
Я понял!

-- Пт окт 28, 2011 14:26:46 --

ewert я вот только недавно начал изучение Линейной алгебры. Такой вопрос у меня возник: Вообще, бесконечномерные пространства в каких разделах больше всего изучают?

[ewert]

В функциональном анализе. Линейная алгебра к ним вообще отношения не имеет. Там этот пример был приведён лишь для расшевеления мозгов -- что, дескать, и такие случаи бывают (в принципе).

[Whitaker]

Спасибо за информацию, ewert!

[Kallikanzarid]

Whitaker в сообщении #496795 писал(а):

Вообще, бесконечномерные пространства в каких разделах больше всего изучают?

Они периодически вылезают в самых разных местах, но наибольший интерес представляют бесконечномерные топологические векторные пространства и обобщения на них известных структур на $\mathbb{R}^n$ (примеры: норма, скалярное произведение), их изучают в функциональном анализе.

[Whitaker]

Kallikanzarid, а сам предмет Линейной алгебры широко используется в Функциональном анализе?

[Kallikanzarid]

Whitaker в сообщении #496914 писал(а):

Kallikanzarid, а сам предмет Линейной алгебры широко используется в Функциональном анализе?

Шире некуда

[Munin]

ewert в сообщении #496813 писал(а):

В функциональном анализе. Линейная алгебра к ним вообще отношения не имеет.

Интересно, как это не имеет.

[ewert]

Не очень широко вообще-то. Т.е. вообще-то там ЛА -- лишь техническое средство, причём далеко не всегда (хоть и часто) используемое. С другой стороны, и далеко не всё, чем интересуется собственно ЛА, используется в ФА. В общем так: функциональный анализ можно считать некоторым естественным развитием идеологии линейной алгебры, но в своём развитии он довольно далеко оторвался от своей прародительницы.

[Munin]

ewert в сообщении #496941 писал(а):

Т.е. вообще-то там ЛА -- лишь техническое средство, причём далеко не всегда (хоть и часто) используемое.

А разве она не поставляет весь понятийный аппарат?

[ewert]

Munin в сообщении #496940 писал(а):

Интересно, как это не имеет.

Молча. Не имеет -- и точка. Линейная алгебра занимается исключительно конечномерными пространствами. И если временами даёт более общие понятия, то не более чем на уровне общей аксиоматики, которая (в рамках именно линейной алгебры) далее никуда не ведёт.

-- Пт окт 28, 2011 23:21:03 --

Munin в сообщении #496943 писал(а):

А разве она не поставляет весь понятийный аппарат?

Не весь. Существенную часть, но -- далеко не весь. Скажем, понятия полноты и компактности к линейноалгебраическим идеям вообще ни малейшего отношения не имеют, это -- сугубо аналитические отпрыски.

[Munin]

ewert в сообщении #496947 писал(а):

Скажем, понятия полноты и компактности к линейноалгебраическим идеям вообще ни малейшего отношения не имеют, это -- сугубо аналитические отпрыски.

Скажем, сугубо топологические.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #496947 писал(а):

Линейная алгебра занимается исключительно конечномерными пространствами.

Вы жестоко ошибаетесь.