Трёхчлен = квадратам целых значений при целых Х

[SaDiSt0007]

Доброго времени суток!

Занимаюсь доказательством следующего выражения:

Доказать , что трёчлен типа $ax^2+bx+c$ всегда принимает квадраты целых значений при целых $x$.

Иными словами : $ax^2+bx+c=(mx+n)^2$ , где $m, n, x$ - целые числа.


Предпринимал различные попытки доказательства, также пытался сводить к уравнениям Пелле, по примеру статей из журнала Квант за 2002 год.

zhoraster:

1. Не забывайте окружать формулы знаками доллара.
2. Уточните вопрос. Вот у меня при $a=b=c=x=1$ квадрат целого никак не получается.

[Sonic86]

Это неверно. Контрпримеров куча, найдите их сами.
Формулы набирайте, как написано здесь: topic183.html

[nnosipov]

SaDiSt0007 в сообщении #495901 писал(а):

Доказать , что трёчлен типа $ax^2+bx+c$ всегда принимает квадраты целых значений при целых $x$.

Иными словами : $ax^2+bx+=(mx+n)^2$ , где $m, n, x$ - целые числа.

Это, возможно, такая задачка: если значения квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами при целых значениях переменного суть точные квадраты, то сам этот трёхчлен --- квадрат линейного выражения.

[RIP]

topic26047.html

[nnosipov]

Какая-то очень древняя задача (кажется, с очень давней московской олимпиады). Обобщается на многочлены любой степени и любые степени.

[SaDiSt0007]

Извините за непоноту поставленной задачи, но как оказалось , в данной задаче для упрощения - а, б, с - целые!
итого - найдутся ли такие х , при которых данный трёхчлен примет квадраты целых значений при целых Х.

-- 28.10.2011, 13:44 --

т.е. нужна такая формула в которую подставив целые а,б,с проверить , найдутся ли такие Х.

[Shadow]

Может так:
Доказать, что для любых целых $a,b,c$, найдется целое $x$, такое, что $ax^2+bx+c$ квадрат целого числа?

Нет, не то наверное. При $a=0, b=0$ не получится

[INGELRII]

SaDiSt0007
Вы не могли бы условие своей задачи записать в кванторах, если уж словами не получается? Выразить не могу, как я заинтригован, что же это за задача у вас такая хитрая, прям ночами не сплю

[ИСН]

SaDiSt0007, Ваши слова всё ещё не делают смысла. Не едут. Как те лыжи по асфальту.

[MrDindows]

По-моему задача такова:
Даны целые числа $a,b,c$. Найти такие целые $x$, что $ax^2+bx+c$ - есть квадрат натурального числа.

Это судя по последнему посту. С первым постом ТС это никак не вяжется)

[Shadow]

MrDindows в сообщении #496780 писал(а):

По-моему задача такова:
Даны целые числа $a,b,c$. Найти такие целые $x$, что $ax^2+bx+c$ - есть квадрат натурального числа.

Но при $a=0,b=0$ и c не квадрат не получится, при $b=0,c=0,a=2,3,5$ например тоже. Существуют параболы строго ниже нуля, какой там квадрат целого числа. Может для натуральных?

[SaDiSt0007]

итак подъитожим :)
Дан трёхчлен типа $ax^2+bx+c$ , где $a,b,c,x$ целые , причем (главное) при некоторых $a,b,c$ - не найдутся , а при других $a,b,c$ найдутся такие X, при которых данный трёхчлен будет принимать значения квадратов целых значений.
иными словами ax^2+bx+c=(mx+n)^2, где:
1) $a,b,c,x,m,n$ - целые
2) $a,b,c$ - разные числа

Допустим при $2x^2+3x+4 =$ ... вывод... не найдутся такие Х , а при например $4x^2+3x+2=$...вывод...=найдутся, например 4 и 17
($a,b,c$ на бум сейчас написал, и их корни на бум)

Нужен алгоритм этого доказывания.

[ИСН]

"Например 4 и 17" Вы тоже наобум написали?

[SaDiSt0007]

Ну если а,б,с на бум , то их корни на бум соответственно Единственное что я хотел показать этим, то что такое Х может быть отнюдь не единственное.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин, чтобы дать Вам возможность все формулы записать в $\TeX$. В частности, здесь: post496786.html#p496786.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.