Задача из Прасолова (многочлен второй степени)

[Sasha2]

Непонятно, как показать, что если
$ax^2+bx+c$ является точным квадратом при всех целых $x$, то тогда
$ax^2+bx+c=(dx+e)^2$
В задачнике приводится какое то корявое решение.
Например автор утверждает, что $\lim\limits_{x \to \infty} {(f(x+1)-f(x))}=\sqrt{a}$,
где $f(x)=ax^2+bx+c$. Но это же очевидно не так.

[gris]

Может быть, попробовать в лоб?
Во- первых, $a$ должно быть больше нуля. Во-вторых, $c$ должно быть квадратом целого числа.
Значит, можем переобозначить
$f(x)=a^2x^2+bx+c^2$
Осталось показать, что $b=2ac$

[Хорхе]

Откуда $a^2$, gris?

[gris]

Я же говорю, переобозначить.
Коэффициент при $x^2$ не может быть отрицательным, иначе при некотором целом $x$ выражение будет отрицательным. Чтобы не вводить новых буков, запишем коэффициент при $x^2$ как $a^2$

[Sasha2]

Показать довольно таки легко удается следующее:
1) Число $c$ есть полный квадрат
2) Число $2a$ - целое число
3) Число $2b$ - целое число
4) Также целыми являются $a+b$ и $a-b$.

А дальше непонятно как.
Вроде по идее надо построить сходящуюся целочисленную последовательность, сходящуюся к $\sqrt{a}$, но опять же непонятно, как это сделать.

[venco]

Если сравнить $x=\{1,3,5,7\}$, то можно сделать вывод, что $b$ - чётное целое, и, соответственно, $a$ - целое.

[RIP]

Sasha2 в сообщении #254210 писал(а):

Например автор утверждает, что $\lim\limits_{x \to \infty} {(f(x+1)-f(x))}=\sqrt{a}$,
где $f(x)=ax^2+bx+c$.

Где-то потерян корень. Скорее всего, $f(x)=(ax^2+bx+c)^{1/2}$. Кстати, отсюда моментально получаем, что $a$ --- точный квадрат (а подумав ещё чуть-чуть, получаем утверждение задачи).

[venco]

RIP в сообщении #254247 писал(а):

Sasha2 в сообщении #254210 писал(а):

Например автор утверждает, что $\lim\limits_{x \to \infty} {(f(x+1)-f(x))}=\sqrt{a}$,
где $f(x)=ax^2+bx+c$.

Где-то потерян корень. Скорее всего, $f(x)=(ax^2+bx+c)^{1/2}$. Кстати, отсюда моментально получаем, что $a$ --- точный квадрат (а подумав ещё чуть-чуть, получаем утверждение задачи).

Там много чего потеряно.
$f(x+1)-f(x)=2 a x + a + b$ для $f(x)=ax^2+bx+c$
Поэтому ничего не получаем...

[RIP]

Считаем, что $a>0$ (случай $a=0$ тривиален).
$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt ax+b/(2\sqrt a)+O(1/x)$ при $x\to+\infty$, поэтому $\sqrt a=\lim_{x\to+\infty}(f(x+1)-f(x))=d\in\mathbb N$. Далее, $b/(2d)=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-dx)=e\in\mathbb Z$, и при всех достаточно больших $x\in\mathbb N$ выполнено $f(x)=dx+e$, т.е. $ax^2+bx+c=(dx+e)^2$.

[venco]

Ага, с корнем получается.

[Sasha2]

Большое спасибо теперь понятно.