Теорема Лёвенгейма-Сколема

[Профессор Снэйп]

маткиб писал(а):

Я догадываюсь, что это давно доказано (когда мой дедушка пешком под стол ходил, либо его вообще не существовало).

А про разрешимую модель - это интересно, я этого не знал.

В книге Ю. Л. Ершова "Проблемы разрешимости и конструктивные модели" ("Наука", 1980) нашёл такое утверждение.

Теория $T$ имеет сильно конструктивную (aka разрешимую) модель тогда и только тогда, когда она не является существенно неразрешимой (т. е. у неё существует разрешимое непротиворечивое расширение)

Ссылка на автора результата, к сожалению, отсутствует, но само утверждение достаточно очевидно и, подозреваю, было доказано на заре теории, когда А. И. Мальцев и иже с ними начали заниматься конструктивными моделями. То есть, скорее всего, где-то в середине 1960-ых.

Если же мы начнём интересоваться критерием существования просто конструктивной (а не сильно конструктивной) модели у теории, то там всё сложнее... Я уже давно в эту область не залазил, но, насколько я помню, никакого подобного критерия там нет. Понятно, что теория в этом случае не обязана быть разрешимой и вообще может быть устроена достаточно сложно. Навскидку, так, можно гарантировать лишь существование у неё расширения с перечислимой $\exists$-теорией.

Уважаемый маткиб Позвольте спросить, откуда у Вас интерес к подобным вещам? Вроде Вы обозначили себя как москвича, а в Москве, насколько я знаю, никто этим не занимается.

[маткиб]

Профессор Снэйп писал(а):

Уважаемый маткиб Позвольте спросить, откуда у Вас интерес к подобным вещам? Вроде Вы обозначили себя как москвича, а в Москве, насколько я знаю, никто этим не занимается.

Всё правильно, я москвич и этим не занимаюсь
Но у меня патологический интерес к основаниям математики (с горшка).

[aku]

Большое спасибо, уважаемые коллеги, за столь краткое, высокопрофессиональное и без ЗАНОСОВ обсуждение данной темы. Я, безусловно, пожизненно виноват за предвзятое отношение к дискуссиям по некоторым другим темам. Однако очень, очень надеюсь, что Господь меня простит за этот садомский грех, а апостол Петр не надолго задержит у Врат Перехода? Но позвольте вопросить Вас о предоставлении только одного наглядного примера модели, в которой действительные числа счетны.

[Someone]

Дык, в чём проблема-то? Выбираете в качестве метатеории M какую-нибудь теорию множеств (например, ZFC), строите в ней счётную модель теории множеств T (можете в качестве неё взять тоже ZFC), в этой теории множеств стандартным образом строите натуральные числа, определяете рациональные, затем - действительные. Поскольку модель теории T с точки зрения M счётная, то в этой модели все множества не более чем счётные, в том числе - и множество действительных чисел. Но в самой теории T это множество, разумеется, несчётное. Наглядней некуда.

[Kallikanzarid]

aku в сообщении #495956 писал(а):

Но позвольте вопросить Вас о предоставлении только одного наглядного примера модели, в которой действительные числа счетны.

Почитайте статью в англовики, там написано, что хоть модель и счетна, вещественные числа в ней несчетны

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #496099 писал(а):

Почитайте статью в англовики, там написано, что хоть модель и счетна, вещественные числа в ней несчетны

По-моему, Вы что-то неверно перевели.

Вот отсюда:
"Thus it is possible to recognize that a particular set u is countable, but not countable in a particular model of set theory, because there is no set in the model that gives a one-to-one correspondence between u and the natural numbers in that model".

"Вещественные числа" в модели являются подмножеством модели, поэтому их множество счётно. Но оно не счётно в модели, т.е. в модели нет биекции между ними и $\mathbb{N}$.

[Kallikanzarid]

epros
Значит, я что-то перепутал :)