Непрерывные отображения хаусдорфовых пространств

[xmaister]

Здравствуйте! Пусть $(X,\tau)$, $(Y,\tau')$- хаусдорфовы пространства веса $\mathfrak{m}$, $|X|=|Y|=\mathfrak{n}$. Можно ли исходя из этого определить сколько всего существует непрерывных отображений $f: X\rightarrow Y$?

Благодарю.

[xmaister]

Нашёл только банальную оценку $\mathfrak{m}\le|K|\le2^\mathfrak{m}$, $K$- множество непрерывных отображений.

[Someone]

Ну, поскольку $d(X)\leqslant w(X)=\mathfrak m$, то в $X$ есть всюду плотное подмножество $S\subseteq X$ мощности $|S|\leqslant\mathfrak m$. Так как каждое непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ однозначно определяется своими значениями на множестве $S$, то для множества непрерывных отображений получаем оценку $n\leqslant|K|\leqslant\mathfrak{n^m}$.

[xmaister]

Someone в сообщении #496053 писал(а):

ак как каждое непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ однозначно определяется своими значениями на множестве $S$

Не совсем понял, это почему?

[Someone]

Потому что $Y$ - хаусдорфово пространство, вследствие чего продолжение отображения с всюду плотного множества $S\subseteq X$ на всё $X$ единственно (если оно существует). Используйте определение непрерывности, принятое в математическом анализе: отображение $f\colon X\to Y$ непрерывно в точке $x_0\in X$, если для каждой окрестности $Ofx_0\subseteq Y$ точки $fx_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subset X$ точки $x_0$, что $fOx_0\subseteq Ofx_0$. (Под окрестностью точки понимается любое множество, для которого эта точка является внутренней; впрочем, тут может быть много вариаций, связанных со способами задания топологии).

[Joker_vD]

(Оффтоп)

А можно ли это утверждение доказать с позиций такого факта, что в хаусдорфовом пространстве последовательность не может иметь больше одного предела?

[Someone]

Joker_vD в сообщении #496241 писал(а):

А можно ли это утверждение доказать с позиций такого факта, что в хаусдорфовом пространстве последовательность не может иметь больше одного предела?

Вообще говоря, нельзя, так как в произвольном топологическом пространстве топология не определяется сходящимися последовательностями. Правда, можно рассмотреть обобщение понятия последовательности (в русском языке используется термин "направленность"; английский термин - "net").

http://en.wikipedia.org/wiki/Directed_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Net_%28mathematics%29

[xmaister]

Посмотрите пожалуйста, верно ли я доказал:
Пусть $f_1, f_2:X\rightarrow Y$, такие что $f_1(x)=f_2(x)\forall x\in S$. Предположим, что существует $x\in X$, такое что $f_1(x)\ne f_2(x)$. Тогда существуют открестности $V_1, V_2$ точек $f_1(x), f_2(x)$, такие что $V_1\cap V_2=\varnothing$. Т.е. существуют $U\in\mathcal{B}(x)$: $f(U)\subset V_1$ и $f(U)\subset V_2$, а т.к. в любой окрестности точки $x$ существуют точки всюду плотного множества, то существует $x\in S$: $f_1(x)\ne f_2(x)$. Противоречие.

Благодарю.

[Joker_vD]

xmaister
А кто такое $f$?

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #496430 писал(а):

А кто такое ?

Опечатка. Должно быть $f_1(U)\subset V_1$ и $f_2(U)\subset V_2$


Теперь, если рассмотреть семейство $K$ всех непрерывных отображений $f: X\rightarrow Y$ и семейство $K'$ отображений $S$ в $Y$, можно каждому отбражению из $K$ поставить в соответствие только один элемент $K'$, т.е. $|K|\le|K'|\le\mathfrak{n}^\mathfrak{m}$. Такое рассуждение корректно?

-- 27.10.2011, 14:58 --

З.Ы. В Энгелькинге на стр. 118 нашёл доказательство этого утвреждения. Там говорится о непрерывном отображении всюду плотного подмножества $A$ в хаусдорфово простраснтво $Y$. Как это следует понимать?
З.З.Ы. Можно ли как-нибудь оценить количество гомеоморфизмов $X$ и $Y$

[Someone]

xmaister в сообщении #496424 писал(а):

Посмотрите пожалуйста, верно ли я доказал: ...

В общем, верно. Но я изложил бы в такой редакции.

Предположим, что существует такой элемент $x_0\in X$, что $f_1x_0\neq f_2x_0$. (Ничего, что я не пишу скобок вокруг аргумента отображения?) Так как $Y$ хаусдорфово, существуют не пересекающиеся окрестности $U_1,U_2\subseteq Y$ точек $f_1x_0$ и $f_2x_0$ соответственно. Так как отображения $f_1$ и $f_2$ непрерывны, существуют такие окрестности $V_1,V_2\subseteq X$ точки $x_0$, что $f_1V_1\subseteq U_1$ и $f_2V_2\subseteq U_2$. Так как множество $S$ всюду плотно в $X$, а $V_1\cap V_2\ni x_0$ - непустое открытое множество, найдётся точка $x\in S\cap V_1\cap V_2$. Тогда $f_1x\in U_1$ и $f_2x\in U_2$, а так как $f_1x=f_2x$, то $U_1\cap U_2\neq\varnothing$, что противоречит выбору $U_1$ и $U_2$. Следовательно, исходное предположение неверно.

xmaister в сообщении #496441 писал(а):

Теперь, если рассмотреть семейство $K$ всех непрерывных отображений $f: X\rightarrow Y$ и семейство $K'$ отображений $S$ в $Y$, можно каждому отбражению из $K$ поставить в соответствие только один элемент $K'$, т.е. $|K|\le|K'|\le\mathfrak{n}^\mathfrak{m}$. Такое рассуждение корректно?

Как-то не так. Лучше сказать, что если $f_1,f_2\in K$ - различные элементы, то их ограничения $f_1|_S$ и $f_2|_S$ - тоже различные элементы $K'$. Поэтому $|K|\leqslant|K'|\leqslant\mathfrak{n^m}$.

xmaister в сообщении #496441 писал(а):

Там говорится о непрерывном отображении всюду плотного подмножества $A$ в хаусдорфово простраснтво $Y$. Как это следует понимать?

Так и понимайте: $A\subseteq X$ всюду плотно в $X$, $Y$ хаусдорфово, $f\colon A\to Y$ - непрерывное отображение.

xmaister в сообщении #496441 писал(а):

Можно ли как-нибудь оценить количество гомеоморфизмов $X$ и $Y$

Ну, сверху можно оценить так же, как и количество непрерывных, снизу - нулём. (А количество непрерывных для непустого $X$ оценивается мощностью $Y$.)

[xmaister]

Someone в сообщении #496517 писал(а):

Так и понимайте: $A\subseteq X$ всюду плотно в $X$, $Y$ хаусдорфово, $f\colon A\to Y$ - непрерывное отображение.

Т.е. $A$ следует понимать, как подпространство с индуцированной топологией?

[Someone]

Разумеется. Если не сказано что-нибудь другое.