Посмотрите пожалуйста, верно ли я доказал: ...
В общем, верно. Но я изложил бы в такой редакции.
Предположим, что существует такой элемент

, что

. (Ничего, что я не пишу скобок вокруг аргумента отображения?) Так как

хаусдорфово, существуют не пересекающиеся окрестности

точек

и

соответственно. Так как отображения

и

непрерывны, существуют такие окрестности

точки

, что

и

. Так как множество

всюду плотно в

, а

- непустое открытое множество, найдётся точка

. Тогда

и

, а так как

, то

, что противоречит выбору

и

. Следовательно, исходное предположение неверно.
Теперь, если рассмотреть семейство

всех непрерывных отображений

и семейство

отображений

в

, можно каждому отбражению из

поставить в соответствие только один элемент

, т.е.

. Такое рассуждение корректно?
Как-то не так. Лучше сказать, что если

- различные элементы, то их ограничения

и

- тоже различные элементы

. Поэтому

.
Там говорится о непрерывном отображении всюду плотного подмножества

в хаусдорфово простраснтво

. Как это следует понимать?
Так и понимайте:

всюду плотно в

,

хаусдорфово,

- непрерывное отображение.
Можно ли как-нибудь оценить количество гомеоморфизмов

и

Ну, сверху можно оценить так же, как и количество непрерывных, снизу - нулём. (А количество непрерывных для непустого

оценивается мощностью

.)