Замощение пространства окружностями

[Cash]

Можно ли замостить пространство $\mathbb{R}^3$ непересекающимися окружностями?

[Edward_Tur]

Можно бубликами?

[Cash]

Конечно можно.

[Mega Sirius12]

нет нельзя

[Cash]

Это интересно. А почему?
Мне кажется иначе (не без оснований), но возможно я ошибаюсь?

(Оффтоп)

Эта задача предлагалась на матбое между нашим физматом и матклассом обычной школы. Наше решение - конструкция из бубликов - оказалось с помаркой, в результате мы получили за нее баранку и это стоило нам победы, хотя решили задач мы в 2 раза больше. Позже организаторы сказали, что по традиции мат боев в списке задач должна быть открытая проблема - и это именно она.

[Sonic86]

Радиус произвольный, но больше нуля?

[Cash]

Sonic86 в сообщении #495235 писал(а):

Радиус произвольный, но больше нуля?

Ну да, точками было бы слишком просто...

(Оффтоп)

Забыл уточнить, что дело происходило 20 лет назад и возможно статус задачи уже поменялся

[Edward_Tur]

Задача 6.4 из
http://www.mccme.ru/free-books/matpros/ia225233.pdf.zip

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #495585 писал(а):

Задача 6.4 из
http://www.mccme.ru/free-books/matpros/ia225233.pdf.zip

Тор замостили окружностями, а что дальше?

[Sonic86]

TOTAL в сообщении #495594 писал(а):

Тор замостили окружностями, а что дальше?

Гы! Точно! А дальше тогда так: делаем из двух торов, таких, что внутренний радиус первого равен радиусу сечения второго, делаем "цепь" из двух звеньев. Тогда полученное тело гомеоморфно окружности. Замощаем все пространство такими телами - естественно останутся дырки, уменьшаем нашли тела и замощаем дырки - остаются снова дырки, уменьшаем тела и замощаем дырки дальше и т.д.

[Padawan]

Sonic86 в сообщении #495596 писал(а):

TOTAL в сообщении #495594 писал(а):

Тор замостили окружностями, а что дальше?

Гы! Точно! А дальше тогда так: делаем из двух торов, таких, что внутренний радиус первого равен радиусу сечения второго, делаем "цепь" из двух звеньев. Тогда полученное тело гомеоморфно окружности. Замощаем все пространство такими телами - естественно останутся дырки, уменьшаем нашли тела и замощаем дырки - остаются снова дырки, уменьшаем тела и замощаем дырки дальше и т.д.

Не, так не пойдет. Прочитайте лучше решение, на которое сослался Edward_Tur. Оно восхитительно.

[TOTAL]

Padawan в сообщении #495612 писал(а):

Прочитайте лучше решение, на которое сослался Edward_Tur. Оно восхитительно.

Не могли бы Вы пояснить это восхитительное решение.

1) Зачем заполнять полноторие окружностью, на которую нанизаны другие окружности? Заполнить можно соосными окружностями.

2) Что такое врашение вдоль оси?

3) Якобы ясно, что полноторие и некая окружность дополняются окружностями до нового полнотория. Это как?

[Padawan]

1) Можно и соосными, это не принципиально. Но для единообразия лучше нанизывать (см. 3)
2) Через центр $O$ бублика $T$ (пусть он расположен в вертикальной плоскости дыркой к нам) проводится окружность $S'$ большого радиуса перпендикулярно плоскости бублика (пусть она лежит в горизонтальной плоскости). Далее бублик $T$ мысленно провращаем вдоль $S'$. Получится бублик $T'$ (правда с полостью, но мы её заполним).
3) $T\cup S'$ (там написано $T\cup S$ - опечатка) можно дополнить окружностями до $T'$. Эти окружности нанизаны на $S'$.

[TOTAL]

Padawan в сообщении #495637 писал(а):

3) $T\cup S'$ (там написано $T\cup S$ - опечатка) можно дополнить окружностями до $T'$. Эти окружности нанизаны на $S'$.

Откуда следует, что можно дополнить, как дополнить?
(Ведь это бублик, а не двумерный диск. Взгляните на картинку перпендикулярно плоскости окружности.)

[Padawan]

Да, поторопился. Если так попробовать.
Соосные окружности, на которые разбивается поверхность $T$ будем называть параллелями.
Разрежем поверхность $T$ по внешней и внутренней параллели на две кольцеобразные части (они обе на рисунке проецируются в кольцо). И начнём одну из этих частей двигать вдоль окружности $S'$. При этом внешняя и внутренняя параллели пусть двигаются как при вращении, а остальные - как нибудь, лишь бы всё время движущаяся поверхность состояла из окружностей, и в разные моменты времени эти поверхности бы не пересекались. И движение надо построить таким образом, чтобы одна половинка поверхности $T$ перешла в итоге в другую.