2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Замощение пространства окружностями
Сообщение22.10.2011, 21:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Можно ли замостить пространство $\mathbb{R}^3$ непересекающимися окружностями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение22.10.2011, 23:09 
Заслуженный участник


03/12/07
336
Можно бубликами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение22.10.2011, 23:12 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Конечно можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение23.10.2011, 00:34 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


16/10/11

305
нет нельзя

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение23.10.2011, 02:05 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Это интересно. А почему?
Мне кажется иначе (не без оснований), но возможно я ошибаюсь?

(Оффтоп)

Эта задача предлагалась на матбое между нашим физматом и матклассом обычной школы. Наше решение - конструкция из бубликов - оказалось с помаркой, в результате мы получили за нее баранку и это стоило нам победы, хотя решили задач мы в 2 раза больше. Позже организаторы сказали, что по традиции мат боев в списке задач должна быть открытая проблема - и это именно она.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение23.10.2011, 06:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8497
Радиус произвольный, но больше нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение23.10.2011, 07:52 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Sonic86 в сообщении #495235 писал(а):
Радиус произвольный, но больше нуля?

Ну да, точками было бы слишком просто...

(Оффтоп)

Забыл уточнить, что дело происходило 20 лет назад и возможно статус задачи уже поменялся

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 11:15 
Заслуженный участник


03/12/07
336
Задача 6.4 из
http://www.mccme.ru/free-books/matpros/ia225233.pdf.zip

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4778
Нов-ск
Edward_Tur в сообщении #495585 писал(а):

Тор замостили окружностями, а что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 12:21 
Заслуженный участник


08/04/08
8497
TOTAL в сообщении #495594 писал(а):
Тор замостили окружностями, а что дальше?

Гы! Точно! А дальше тогда так: делаем из двух торов, таких, что внутренний радиус первого равен радиусу сечения второго, делаем "цепь" из двух звеньев. Тогда полученное тело гомеоморфно окружности. Замощаем все пространство такими телами - естественно останутся дырки, уменьшаем нашли тела и замощаем дырки - остаются снова дырки, уменьшаем тела и замощаем дырки дальше и т.д. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 13:11 
Заслуженный участник


13/12/05
3687
Sonic86 в сообщении #495596 писал(а):
TOTAL в сообщении #495594 писал(а):
Тор замостили окружностями, а что дальше?

Гы! Точно! А дальше тогда так: делаем из двух торов, таких, что внутренний радиус первого равен радиусу сечения второго, делаем "цепь" из двух звеньев. Тогда полученное тело гомеоморфно окружности. Замощаем все пространство такими телами - естественно останутся дырки, уменьшаем нашли тела и замощаем дырки - остаются снова дырки, уменьшаем тела и замощаем дырки дальше и т.д. :mrgreen:

Не, так не пойдет. Прочитайте лучше решение, на которое сослался Edward_Tur. Оно восхитительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4778
Нов-ск
Padawan в сообщении #495612 писал(а):
Прочитайте лучше решение, на которое сослался Edward_Tur. Оно восхитительно.

Не могли бы Вы пояснить это восхитительное решение.

1) Зачем заполнять полноторие окружностью, на которую нанизаны другие окружности? Заполнить можно соосными окружностями.

2) Что такое врашение вдоль оси?

3) Якобы ясно, что полноторие и некая окружность дополняются окружностями до нового полнотория. Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение24.10.2011, 14:15 
Заслуженный участник


13/12/05
3687
1) Можно и соосными, это не принципиально. Но для единообразия лучше нанизывать (см. 3)
2) Через центр $O$ бублика $T$ (пусть он расположен в вертикальной плоскости дыркой к нам) проводится окружность $S'$ большого радиуса перпендикулярно плоскости бублика (пусть она лежит в горизонтальной плоскости). Далее бублик $T$ мысленно провращаем вдоль $S'$. Получится бублик $T'$ (правда с полостью, но мы её заполним).
3) $T\cup S'$ (там написано $T\cup S$ - опечатка) можно дополнить окружностями до $T'$. Эти окружности нанизаны на $S'$.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение25.10.2011, 04:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4778
Нов-ск
Padawan в сообщении #495637 писал(а):
3) $T\cup S'$ (там написано $T\cup S$ - опечатка) можно дополнить окружностями до $T'$. Эти окружности нанизаны на $S'$.

Изображение

Откуда следует, что можно дополнить, как дополнить?
(Ведь это бублик, а не двумерный диск. Взгляните на картинку перпендикулярно плоскости окружности.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замощение пространства окружностями
Сообщение25.10.2011, 07:22 
Заслуженный участник


13/12/05
3687
Да, поторопился. Если так попробовать.
Соосные окружности, на которые разбивается поверхность $T$ будем называть параллелями.
Разрежем поверхность $T$ по внешней и внутренней параллели на две кольцеобразные части (они обе на рисунке проецируются в кольцо). И начнём одну из этих частей двигать вдоль окружности $S'$. При этом внешняя и внутренняя параллели пусть двигаются как при вращении, а остальные - как нибудь, лишь бы всё время движущаяся поверхность состояла из окружностей, и в разные моменты времени эти поверхности бы не пересекались. И движение надо построить таким образом, чтобы одна половинка поверхности $T$ перешла в итоге в другую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group