Равномерная сходимость последовательности функций

[ewert]

Whitaker в сообщении #494784 писал(а):

$\forall \varepsilon>0$ $\exists N$: $\forall n>N$ и $\forall x\in X$ верно $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

Верно (хотя лучше бы вовсе без слов); теперь выписывайте формальное отрицание.

[Whitaker]

Определение равномерной сходимости: $\forall \varepsilon>0$ $\exists N$: $\forall n>N$ $\land$ $\forall x\in X$ $\Rightarrow$ $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

Построим отрицание равномерной сходимости: $\exists \varepsilon>0$: $\forall N$ $\exists n>N$ $\land$ $\exists x_N \in X$ $\Rightarrow$ $|f_n(x_N)-f(x)| \geq \varepsilon$

[bot]

Зачем было утверждать существование $n$, большего $N$, если далее про это $n$ ничего не говорится.
Ну и вообще, что такое импликация и как устроить её отрицание?

[Whitaker]

Я взял и поменял кванторы, что получилось то и написал.
А как устроить отрицание импликации я не знаю.

[ewert]

Whitaker в сообщении #494794 писал(а):

$\exists \varepsilon>0$: $\forall N$ $\exists n>N$ $\land$ $\exists x_N \in X$ $\Rightarrow$ $|f_n(x_N)-f(x)| \geq \varepsilon$

Всё правильно, за исключением одного: откуда Вы выкопали этот загадочный $x_N$? Не надо излишних фантазий. Теперь перескажите всё это своими словами.

-- Пт окт 21, 2011 17:43:17 --

bot в сообщении #494797 писал(а):

если далее про это $n$ ничего не говорится.

Говорится.

[Whitaker]

ewert в сообщении #494806 писал(а):

Whitaker в сообщении #494794 писал(а):

$\exists \varepsilon>0$: $\forall N$ $\exists n>N$ $\land$ $\exists x_N \in X$ $\Rightarrow$ $|f_n(x_N)-f(x)| \geq \varepsilon$

Всё правильно, за исключением одного: откуда Вы выкопали этот загадочный $x_N$? Не надо излишних фантазий. Теперь перескажите всё это своими словами.

-- Пт окт 21, 2011 17:43:17 --

bot в сообщении #494797 писал(а):

если далее про это $n$ ничего не говорится.

Говорится.

ewert Но ведь $x$ уже будет зависить от чего то?

[_hum_]

Импликация лишняя. Высказывания наподобие "для всякого $x$ справедливо $P(x) $" оформляются как $\forall x P(x)$, а не $\forall x \Rightarrow P(x)$. Аналогично, не нужно использовать в кванторах конъю́нкцию - вместо $\forall x \wedge \forall y Q(x,y)$ следует писать $\forall x \forall y Q(x,y)\, \Big( \overset{def}{\equiv} \forall x \big(\forall y Q(x,y)\big) \Big)$
Чтобы получить отрицание сложного высказывания, в общем случае не достаточно просто поменять кванторы. Надо действовать в соответствие с правилом Де-Моргана

$$\forall x P(x) \equiv \neg \big( \exists x \neg P(x) \big), $$

применяя его последовательно к вложенным высказываниям.

А вообще, если вы только начали изучать этот курс, то, ИМХО, полезнее в первую очередь на обычном языке формулировать соответствующие определения и их отрицания (с пониманием их смысла). Наподобие:
для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое большой номер, начиная с которого значения функций $f_n$ станут отличаться от значений функции $f$ во всех точках не более чем на $\varepsilon$.

[ewert]

_hum_ в сообщении #494816 писал(а):

Но ведь $x$ уже будет зависить от чего то?

Нет. У Вас ведь там стояло конъюнкция, а это -- симметричная операция (в смысле коммутативная). Поэтому говорить о том, что одна из её сторон зависит от другой, как-то нелепо. Фактически там квантор $\forall$ применяется по отношению не к $n$ и $x$ по отдельности, а к паре $(n,x)$.

_hum_ в сообщении #494816 писал(а):

Чтобы получить отрицание сложного высказывания, в общем случае не достаточно просто поменять кванторы.

Вообще-то достаточно, и Whitaker сделал это вполне грамотно (за исключением отмеченного момента).

_hum_ в сообщении #494816 писал(а):

полезнее в первую очередь на обычном языке формулировать соответствующие определения и их отрицания (с пониманием их смысла)

Наоборот. Полезнее научиться переводить формулировки с русского языка на формальный и обратно, затвердить вот то самое простенькое правило формального обращения -- тогда и осмысление этой процедуры придёт. Со временем.

[Whitaker]

ewert значит в отрицании равномерной сходимости должно быть так $|f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon$? Т.е. должен стоять просто $x$ да?

[ewert]

Whitaker в сообщении #494829 писал(а):

Т.е. должен стоять просто $x$ да?

Конечно. Я же сказал -- не фантазируйте без необходимости.

Кстати, импликация там действительно не нужна (хоть и много любителей ставить её в этом месте). Впрочем, она и (для не матлогиков) практически безобидна: так, с боку бантик.

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #494835 писал(а):

импликация там действительно не нужна

Строго говоря, нужна: $(\forall x)(x\in X\Rightarrow Property(x))$,
а сокращают формулу по-разному:
$x\in X\Rightarrow Property(x)$ или
$(\forall x\in X) Property(x)$

[_hum_]

ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #494825 писал(а):

_hum_ в сообщении #494816 писал(а):

Чтобы получить отрицание сложного высказывания, в общем случае не достаточно просто поменять кванторы.

Вообще-то достаточно

Ну как же, ведь отрицание, например, высказывания $\forall x \big (\forall y P_1(x,y) \vee \forall z P_2(x,z) \big)$ не есть высказывание $\exists x \big (\exists y \neg P_1(x,y) \vee \exists z \neg P_2(x,z) \big)$.

ewert в сообщении #494835 писал(а):

Кстати, импликация там действительно не нужна (хоть и много любителей ставить её в этом месте). Впрочем, она и (для не матлогиков) практически безобидна: так, с боку бантик.

Я бы все-таки поостерегся создавать у новичков такое пренебрежительное отношение к импликации. Ведь не ровен час, столкнутся они с построением отрицания к чему-нибудь наподобие $\forall x \forall y P(x,y) \Rightarrow Q(x)$.

[Padawan]

(Оффтоп)

bot в сообщении #494778 писал(а):

Кочующие из учебника в учебник избыточные слова о зависимости дельты (номера) от эпсилон или, как здесь, о независимости номера от икса, по замыслу методистов должны что-то прояснять начинающему. На деле же они ничего не проясняют, а напротив многих запутывают.

Больше не буду писать $N=N(\varepsilon)$. И в правду лишнее. Ваше замечание стало последней каплей в моих сомнениях по этому поводу.

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #494847 писал(а):

Ведь не ровен час, столкнутся они с построением отрицания к чему-нибудь наподобие $\forall x \forall y P(x,y) \Rightarrow Q(x)$.

"Аналитики" -- не столкнутся. Ибо если для матлогиков кванторы -- это матаппарат, то для нормальных людей -- не более чем удобное сокращение.

[Whitaker]

ewert в сообщении #494850 писал(а):

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #494847 писал(а):

Ведь не ровен час, столкнутся они с построением отрицания к чему-нибудь наподобие $\forall x \forall y P(x,y) \Rightarrow Q(x)$.

"Аналитики" -- не столкнутся. Ибо если для матлогиков кванторы -- это матаппарат, то для нормальных людей -- не более чем удобное сокращение.

Согласен с ewert