Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться. Этот ниже написанный абзац взят из книги Фихтенгольца.
Пусть дана последовательсность функций
![$f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$ $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/3/ea3c82848169c2a86712a6818b273e7b82.png)
.
На множестве
![$0 \leq x \leq 1$ $0 \leq x \leq 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/f/15f9bf1faa30e17ec8aeb5ab26f2104382.png)
ее предельная функция равно нулю, т.е.
![$\lim \limits_{n \to \infty}{f_n(x)}=0$ $\lim \limits_{n \to \infty}{f_n(x)}=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/d/5fd907b8c78ba55644ded9d85f34921e82.png)
.
Для любого фиксированного
![$x>0$ $x>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9b46f46cfcebc82f6f2be2576597cb82.png)
достаточно взять
![$n>\Big[\dfrac{1}{x\varepsilon} \Big]$ $n>\Big[\dfrac{1}{x\varepsilon} \Big]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/2/e02d8966239390427c00e06a61e326e582.png)
, чтобы было:
![$f_n(x)<\dfrac{1}{nx}<\varepsilon$ $f_n(x)<\dfrac{1}{nx}<\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e43459e1d024692d76a53600df004282.png)
. Но с другой стороны, сколь большим не взять
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, для функции
![$f_n(x)$ $f_n(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1e8c0b5a42801494b4aebe416b1877d82.png)
в промежутке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
всегда найдется точка, именно точка
![$x=\dfrac{1}{n}$ $x=\dfrac{1}{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/e/79e57aa64804599c7509ef1342d0b7be82.png)
, в которой ее значение равно
![$\dfrac{1}{2}, f_n\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{2}, f_n\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=\dfrac{1}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f13d7ccc03fa1296e923266b57a1e7e82.png)
. Таким образом, за счет увеличения
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
сделать
![$f_n(x)<\dfrac{1}{2}$ $f_n(x)<\dfrac{1}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/a/f2ab6c6d1d347f489fc8b38b8a376b6d82.png)
для всех значений
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
из
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
зараз - никак нельзя. Иными словами, уже для
![$\varepsilon=\dfrac{1}{2}$ $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/0/7304dd012d55bc9fea31f10a1d4ccf8682.png)
не существует
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
, которое годилось бы для всех
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
одновременно.
Мне не совсем понятно предложение, начинающееся со слов: "Таким образом ...."
Может кто-нибудь объяснит?
С уважением, Whitaker.