Страшное диофантово уравнение

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #494753 писал(а):

А если хотя бы взять $z=y^2$?

Уравнение $y^4-y^3+y^2-y+1=x^4+x^3+x^2+x+1$ как раз легко исследовать. Но решений в натуральных числах у него нет (скорее всего; а если есть, то конечное число).

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #494755 писал(а):

Уравнение $y^4-y^3+y^2-y+1=x^4+x^3+x^2+x+1$ как раз легко исследовать. Но решений в натуральных числах у него нет (скорее всего; а если есть, то конечное число).

Если не наврал, то при $z=y^2$ для любого $n$ решений нет, поскольку сразу $y>x$, откуда $y \geqslant x+1$ и тогда явно $\frac{y^n+1}{y+1}>\frac{x^n-1}{x-1}$ при $n>3$.
Мдя...
В исходном уравнении также $z<xy$...

[nnosipov]

Да, типа того. Не знаю, откуда эта задача взялась на aops. Последний шанс --- это посмотреть тождества с круговыми многочленами. Но оптимизма нет.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #494758 писал(а):

Да, типа того. Не знаю, откуда эта задача взялась на aops. Последний шанс --- это посмотреть тождества с круговыми многочленами. Но оптимизма нет.

а ТС не ответил.
Вообще у них там часть существенная задач явно выдумана из головы по принципу простой формулировки и потому нерешаема.
Наверное надо забить, иначе только время убью.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #494760 писал(а):

Вообще у них там часть существенная задач явно выдумана из головы по принципу простой формулировки и потому нерешаема.

Согласен. Но раздел "unsolved problems" позволяет ...

[Klad33]

А как Вам решение: $x=\mp k \,;\, y=\pm k\, ; \, z=k^2 $

[Sonic86]

Klad33 в сообщении #494821 писал(а):

А как Вам решение: $x=\mp k \,;\, y=\pm k\, ; \, z=k^2 $

Но ведь всегда одно из чисел неположительное
А если использовать переход $\frac{x^n+1}{x+1}=\frac{x^{2n}-1}{x^2-1} / \frac{x^n-1}{x-1}$, то, вроде, просто все сокращается и получается $1=1$.

Sonic86 в сообщении #494719 писал(а):

Забыл сказать: интересуют нетривиальные решения, т.е. для натуральных $x,y,z$.

Можно, наверное, пытаться решать уравнение $\frac{z^n+1}{z+1}=\frac{y^n-1}{y-1} \cdot \frac{x^n-1}{x-1}$

[FFMiKN]

Цитата:

Можно, наверное, пытаться решать уравнение $\frac{z^n+1}{z+1}=\frac{y^n-1}{y-1} \cdot \frac{x^n-1}{x-1}$

Что-то мне кажется, что в общем случае ответ найти не получится... Решить можно лишь задав определенные условия... Хотя определенно говорить не берусь.

[INGELRII]

На выходных попробовал разобраться, но только еще сильнее запутался. Сначала задам вопрос: на каком поле вообще выражение $x^3+x^2+x+1$ является нормой? Тем более выражение $x^4+x^3+x^2+x+1$?

[Sonic86]

INGELRII в сообщении #495620 писал(а):

На выходных попробовал разобраться, но только еще сильнее запутался. Сначала задам вопрос: на каком поле вообще выражение $x^3+x^2+x+1$ является нормой? Тем более выражение $x^4+x^3+x^2+x+1$?

Да как бы ни на каком. $\Phi _p(a,b)=b^{\varphi (p)} \Phi _p (\frac{a}{b})$ - это норма, а то, что у нас - частный случай $b=1$ (разница как у $x^2+y^2$ и $x^2+1$)

[INGELRII]

Sonic86 в сообщении #495821 писал(а):

то, что у нас - частный случай (разница как $x^2+y^2$ и $x^2+1$)

Верно, я таким путем и двигался. Продвинулся, однако, недалеко. Получается, что в общем виде эта норма должна быть $x^3+x^2 y+x y^2+y^3$. Ну и собственно вопрос - у какого поля такая жутенькая норма?

Если найти ответ на этот вопрос, то можно бы и для четвертой степени придумать. А там уже, по аналогии с комплексными числами (вторая степень)...

[Sonic86]

$\Phi _5(a,b)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$ - норма в $\mathbb{Z}[\zeta _5]$
$x^3+x^2 y+x y^2+y^3$ - это не норма для любого $\mathbb{Z}[\zeta _p]$, поскольку уравнение $\varphi (p)=3$ решений не имеет (правая часть либо четна, либо равна $1$).

[INGELRII]

Sonic86
Угу. То есть это норма для чисел вида $a+b \zeta _j$, где $j$ - некий индекс от 1 до 4, я прав? Тогда этот способ пролетает, увы. Ибо, например, $(x+\zeta _1)(y+\zeta_2)=x y+y \zeta _1+x \zeta _2+\zeta _3$. То есть произведение содержит аж четыре слагаемых. Можно изловчиться и взять $(x+\zeta _1)(y+\zeta_4)=(x y+1)+y \zeta _1+x \zeta _4$ (я правильно понимаю, что $\zeta _1 \zeta _4=1$?). Но даже так получается три слагаемых. Норма от такого числа в виде $a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3+b^4$ вряд ли представима. Тупик, по-моему.

[Sonic86]

Вы можете в Постникове Теория алгебраических чисел посмотреть подробнее.
Элемент $\alpha \in \mathbb{Z} [\zeta _p]$ выглядит так: $\alpha = \sum\limits_{j=0}^{p-2} a_j \zeta _p^j$, т.е. при $p=5$ мы его можем записывать как $a_0+ a_1 \zeta + a_2 \zeta ^2 + a_3 \zeta ^3$, член с $\zeta ^4$ не нужен, ибо $1+ \zeta + \zeta ^2 + \zeta ^3 + \zeta ^4 =0$. Есть также и другой вид элементов этого кольца.
Но в итоге все равно $\frac{x^p-1}{x-1}$ - не норма.
(че-то я еще, кажется, с видом нормы для $p=5$ наврал, надо посмотреть...)
upd: Блин, про норму действительно наврал. Для простого $p$ норма - функция от $p$ целых чисел. Так что тем более не получается...