Страшное диофантово уравнение

[Sonic86]

$$\frac{z^5-1}{z-1}=\frac{x^5-1}{x-1} \cdot \frac{y^5-1}{y-1}$$

Численно ничего не нахожу. Как решать - вообще без понятия. Может я что-то не вижу?

(по мотивам)

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=439148

[Klad33]

Решений уйма. Например:

$x=k \, ; \, y=-1 \, ; \, z=k$

$x=0\, ; y=k \,;\, z=k$

$y=0\, ; x=k \,;\, z=k$

С учетом, конечно, ОДЗ.

[FFMiKN]

Вот если поделить столбиком, вроде как, получается выражение :
$z^4+z^3+z^2+z+1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$
Может Вам это чем-нибудь поможет, натолкнет на мысль? Я не знаю что дальше можно сделать...

-- 21.10.2011, 12:58 --

Klad33 То есть можно брать одно значение (с учетом ОДЗ) и находить остальные? Или как вы это решили?

[Sonic86]

Забыл сказать: интересуют нетривиальные решения, т.е. для натуральных $x,y,z$.
Я программно проверил для $z \leqslant 300$ - вроде как решений нет.

FFMiKN в сообщении #494717 писал(а):

Может Вам это чем-нибудь поможет, натолкнет на мысль? Я не знаю что дальше можно сделать...

Я сам не знаю. Пытался приплести $\mathbb{Z}[\zeta _5]$, но не получается.

[Klad33]

Я решил очень просто. Если принять x или y нулю, то отношения будут равны, если будут равны другие два параметра. То же будет, если будет y=-1 или x=-1
А ОДЗ - это всего лишь неравенство любого параметра единице.

и не надо ничего преобразовывать и программировать. Тут только логика.

[Sonic86]

Klad33 в сообщении #494720 писал(а):

Я решил очень просто. Если принять x или y нулю, то отношения будут равны, если будут равны другие два параметра. То же будет, если будет y=-1 или x=-1

Это и так понятно. Что делать с $x,y,z \in \mathbb{N}$?

[Klad33]

Различные x, y,z вряд ли могут появиться. Легче допустить, что ВТФ неверна

[FFMiKN]

Sonic86

Цитата:

Я программно проверил для $z \leqslant 300$ - вроде как решений нет.

Может их тогда вообще нет... Но надо думать дальше. Значит будем думать.

[Sonic86]

FFMiKN в сообщении #494725 писал(а):

Может их тогда вообще нет... Но надо думать дальше. Значит будем думать.

Я вот в этом сомневаюсь С чего бы их не было? Если бы вместо $\Phi (x,1)$ была полная норма $\Phi (x,y)$ в $\mathbb{Z} [\zeta _5]$, тогда проблем вообще нет - решений навалом. Есть, например, $x,y,z \in \mathbb{N}: (z^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)$, есть $x,y,z \in \mathbb{N}: \frac{z^3-1}{z-1}= \frac{x^3-1}{z-1} \cdot \frac{y^3-1}{z-1}$, а у этого внезапно нету. Почему?

[gris]

Интересно, что для третьей степени решения есть, например $(z, x, y) = (9, 2, 3);(30,3,11)$ и т.д.
Ой, я немного опоздал, ну так в подтверждение

[FFMiKN]

Sonic86 в сообщении #494731 писал(а):

FFMiKN в сообщении #494725 писал(а):

Может их тогда вообще нет... Но надо думать дальше. Значит будем думать.

Я вот в этом сомневаюсь С чего бы их не было? Если бы вместо $\Phi (x,1)$ была полная норма $\Phi (x,y)$ в $\mathbb{Z} [\zeta _5]$, тогда проблем вообще нет - решений навалом. Есть, например, $x,y,z \in \mathbb{N}: (z^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)$, есть $x,y,z \in \mathbb{N}: \frac{z^3-1}{z-1}= \frac{x^3-1}{z-1} \cdot \frac{y^3-1}{z-1}$, а у этого внезапно нету. Почему?

А нельзя ли предположить, что если для $x,y,z \in \mathbb{N}: (z^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)$ есть решения, то они же подойдут и для нашего уравнения... Но надо доказать, понимаю...
Побежал я в универ, потом еще помучаюсь, хотелось бы узнать решение, конечно...

[Sonic86]

gris в сообщении #494732 писал(а):

Интересно, что для третьей степени решения есть, например $(z, x, y) = (9, 2, 3);(30,3,11)$ и т.д.

ага! И я о том же: с чего бы вдруг решения исчезли?

Кстати, автор предлагает решать для $f(x)=\frac{x^n-1}{x-1}$ уравнение $f(m)=f(m_1)...f(m_s)$. Интересно найти хоть одно решение.
Еще мелкая идея: $\frac{f(x^2)}{f(x)}=\frac{x^n+1}{x+1}$ - больше небольших простых чисел. Может поможет.

-- Пт окт 21, 2011 09:33:33 --

FFMiKN в сообщении #494733 писал(а):

А нельзя ли предположить, что если для $x,y,z \in \mathbb{N}: (z^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)$ есть решения, то они же подойдут и для нашего уравнения... Но надо доказать, понимаю...

Ну может. Понятно, что если решение есть для составного показателя, то оно есть и для простого показателя, а поскольку $f_p(z)=f_p(x)f_p(y)$ для $p=2;3$ имеет решения, то можно на этом пути что-то искать.

-- Пт окт 21, 2011 09:53:24 --

Советую не верить моим словам о $z \leqslant 300$ - я нашел у себя ошибку

[Klad33]

Я советую верить моим словам : до 50000 решений нет.

[nnosipov]

Sonic86, задача кажется безнадежной. Более "простое" уравнение $(z^3-1)/(z-1)=(x^3-1)/(x-1) \cdot (y^3-1)/(y-1)$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах (Пелль проглядывает). Но все решения вряд ли удастся просто описать.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #494752 писал(а):

Sonic86, задача кажется безнадежной.

Жаль
А если хотя бы взять $z=y^2$?