Равномерная сходимость последовательности функций

[Whitaker]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться. Этот ниже написанный абзац взят из книги Фихтенгольца.
Пусть дана последовательсность функций $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$.
На множестве $0 \leq x \leq 1$ ее предельная функция равно нулю, т.е. $\lim \limits_{n \to \infty}{f_n(x)}=0$.
Для любого фиксированного $x>0$ достаточно взять $n>\Big[\dfrac{1}{x\varepsilon} \Big]$, чтобы было: $f_n(x)<\dfrac{1}{nx}<\varepsilon$. Но с другой стороны, сколь большим не взять $n$, для функции $f_n(x)$ в промежутке $[0,1]$ всегда найдется точка, именно точка $x=\dfrac{1}{n}$, в которой ее значение равно $\dfrac{1}{2}, f_n\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=\dfrac{1}{2}$. Таким образом, за счет увеличения $n$ сделать $f_n(x)<\dfrac{1}{2}$ для всех значений $x$ из $[0,1]$ зараз - никак нельзя. Иными словами, уже для $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$ не существует $N$, которое годилось бы для всех $x$ одновременно.
Мне не совсем понятно предложение, начинающееся со слов: "Таким образом ...."
Может кто-нибудь объяснит?

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

Это пример последовательности функций, которая равномерно не сходится?
Он просто доказывает, что при увеличении $n$ максимум функции $f_n(x)$ не падает меньше $\frac{1}{2}$ (он всегда ему равен даже).
Можно сделать замену $y=nx$ и исследовать функцию на максимум и убедится в этом.

[JMH]

Или ещё проще: последовательность сходится не для всех $x$ из указанного промежутка. Если бы промежуток был, например, $(0.5,1)$, то функциональная последовательность была бы сходящейся равномерно.

[Whitaker]

Спасибо я понял!

[bot]

JMH в сообщении #494603 писал(а):

Или ещё проще: последовательность сходится не для всех $x$ из указанного промежутка

А для какого $x$ расходится?

[gris]

(Оффтоп)

Прочитав, споткнулся на слове "зараз". Усомнился. Взял стремянку, достал пыльного Фихтенгольца. Смотрю — и правда, "зараз".
Whitakerу респект за точность цитирования.
Кондовый, однако, мужик наш отец Григорий

[JMH]

bot в сообщении #494673 писал(а):

JMH в сообщении #494603 писал(а):

Или ещё проще: последовательность сходится не для всех $x$ из указанного промежутка

А для какого $x$ расходится?

Да, очень неудачно выразился

[ewert]

"Фихтенгольца не читал, но скажу". Как-то там всё безумно длинно. Дело всего-навсего в том, что функция $\frac{t}{1+t^2}$ достигает своего максимума во вполне конкретной точке, и максимальное значение её тоже вполне конкретно (и совершенно неважно, чему именно эти числа равны). Соответственно, для последовательности функций $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$ их точки максимума стягиваются к нулю, и во всех этих точках значения функций фиксированы. О какой уж равномерной сходимости к нулю при этом и речь-то может идти.

Да, и даже точка максимума тут не при чём. Просто фиксируем любое ненулевое $t_0$ и фиксируем значение в этой точке...

[Whitaker]

Пусть последовательность функций $f_n(x)$ имеет в $X$ предельную функцию $f(x)$, т.е. $\lim \limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)$. Существует $\varepsilon>0$ и для любого номера $N_0$ существует последовательность $x_n$ из $X$ такое, что выполняется неравенство:
$|f_n(x_n)-f(x)|\geq \varepsilon$

Я вот в определении равномерной сходимости поменял все кванторы и вроде получим отрицание равномерной сходимости. Скажите пожалуйста правильно ли я написал?

[ewert]

Whitaker в сообщении #494749 писал(а):

Скажите пожалуйста правильно ли я написал?

Нет, неправильно, просто потому, что совершенно бессвязно. Например: ну какой, ради бога, смысл может иметь формулировка "для любого номера $N_0$ существует последовательность $x_n$ из $X$"?... И перед этим вместо "и" должно было стоять "такое, что".

Начните с аккуратной формулировки самой равномерной сходимости. Когда она будет стоять перед глазами -- можно будет подумать и о её отрицании.

[Whitaker]

Если $1)$ последовательность $\{f_n(x) \}_{n=1}^{\infty}$ имеет в $X$ предельную функцию $f(x)$ и $2)$ для любого числа $\varepsilon>0$ существует такой не зависящий от $x$ номер $N$, что при $n>N$ неравенство $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ выполняется сразу для всех $x$ из $X$, то говорят, что последовательность $\{f_n(x) \}_{n=1}^{\infty}$ сходится к функции $f(x)$ равномерно на множестве $X$.

[ewert]

Whitaker в сообщении #494765 писал(а):

$1)$ последовательность $\{f_n(x) \}_{n=1}^{\infty}$ имеет в $X$ предельную функцию $f(x)$

Это лишнее.

Whitaker в сообщении #494765 писал(а):

для любого числа $\varepsilon>0$ существует такой не зависящий от $x$ номер $N$, что при $n>N$ неравенство $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ выполняется сразу для всех $x$ из $X$

Здесь тоже кое-какие слова лишние, одно слово пропущено и кое-что расставлено в неудачном порядке; всё это будет мешать построению отрицания. Но всё-таки попытайтесь. А ещё лучше -- запишите утверждение вообще без слов, только с кванторами и уже после его формального обращения переведите на обычный язык.

[bot]

ewert в сообщении #494770 писал(а):

кое-какие слова лишние

(Угу)

Кочующие из учебника в учебник избыточные слова о зависимости дельты (номера) от эпсилон или, как здесь, о независимости номера от икса, по замыслу методистов должны что-то прояснять начинающему. На деле же они ничего не проясняют, а напротив многих запутывают.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #494778 писал(а):

Кочующие из учебника в учебник избыточные слова о зависимости дельты (номера) от эпсилон или, как здесь, о независимости номера от икса, по замыслу методистов должны что-то прояснять начинающему. На деле же они ничего не проясняют, а напротив многих запутывают.

Такого рода словам нечего делать в самом определении, но они очень полезны после него в качестве комментария. Если же автор пытается впихнуть комментарии непосредственно в определение, то он проявляет тем самым неумение структурировать текст.

[Whitaker]

ewert вот я записал это на языке кванторов.
$\forall \varepsilon>0$ $\exists N$: $\forall n>N$ и $\forall x\in X$ верно $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$