Это сладкое слово "морфизм"

[ivan1000]

Joker_vD в сообщении #491872 писал(а):

ivan1000 в сообщении #491777 писал(а):

1) Термин "морфизм" в математике - это полный (или почти полный) синоним термина "отображение" (множеств).

И чего мне теперь делать с категорией натуральных чисел, где морфизм из $a$ в $b$ — это выполнение $a\leqslant b$?

Как мне, по-кретьянски, кажется, здесь нет никаких проблем.
Интерпретируйте это отношение как отображение из a в b.
И тогда это будет соответствовать общепринятой схеме пояснений типа:
морфизм (отображение).

Цитата:

ivan1000 в сообщении #491777 писал(а):

Здесь у Вас, уважаемый Kallikanzarid, есть своеобразный так называемый порочный круг в определении морфизма:"есть множество морфизмов (с операцией ...), элемент этого множества называется морфизмом";морфизм определяется через морфизм.

Никакого нету круга: берем с потолка множество, называем его элементы морфизмами, а его само — множеством морфизмов. Благо, для любого множества отыщется категория, в которой множество морфизмов совпадает с нашим множеством.

"берем с потолка множество" и называем:
1) его элементы морфизмами - откудова взялось название "морфизмы" и что бы это значило?
2) а его само (называем) — множеством морфизмов:
множество элементов, которые названы как морфизмы, уже не нужно специально так называть, это следует из первого названия его элементов.
И все это никак не проясняет, что такое морфизмы,
и почему в данном конкретном случае элементы первого встечного среднепотолочного множества так по-ученому названы.
--------------
Вопрос с самого начала состоял не в том, как что-то назвать (назвать можно и горшком), а дать определение общего понятия морфизма - в общепринятом смыле употребления термина "морфизм".

-- 14.10.2011, 08:10 --

JMH в сообщении #492025 писал(а):

ivan1000 в сообщении #490628 писал(а):

Но что такое морфизм вообще - общее понятие морфизма?

С моей точки зрения, наиболее общее и вместе с тем исчёрпывающее определение (и не только) морфизма даётся в "Теории множеств" Бурбаки, гл. IV, параграф 2. Без определения структур обойтись не получится, так что начинайте читать сразу с параграфа 1 той же главы.

Спасибо, JMH, за наводку на авторитетный первоисточник.
Займусь на досуге - пока под руками Бурбаки нет.
Было бы еще лучше, если бы Вы привели это определение.
Тогда бы это был прямой ответ на изначальный вопрос,
и было бы убедительно (или неубедительно), что такое определение есть.

[Kallikanzarid]

ivan1000
Еще раз, $\mathbf{hTop}$.

[Joker_vD]

ivan1000 в сообщении #492301 писал(а):

Интерпретируйте это отношение как отображение из a в b.

Отображение из натурального числа в натуральное число? А они разве множества? Нет, можно, конечно, построить их как множества, но это необязательно.

ivan1000 в сообщении #492301 писал(а):

Вопрос с самого начала состоял не в том, как что-то назвать (назвать можно и горшком), а дать определение общего понятия морфизма - в общепринятом смыле употребления термина "морфизм".

А что такое группа? "Группой называется...", ой, простите, "Группа — это...". Ага, ладно. Тогда: морфизм — это элемент некоторой категории. Категория — это совокупность объектов, для которых мы умеем делать то-то и то-то (определять домен и кодомен объекта, определять т.н. композицию объектов), причем эти действия подчиняются определенным законам.

Блин, да даже если просто взять группу $G$ — то каждый ее элемент является морфизмом. В какой категории — угадайте сами.

[ivan1000]

Joker_vD в сообщении #492383 писал(а):

ivan1000 в сообщении #492301 писал(а):

Интерпретируйте это отношение как отображение из a в b.

Отображение из натурального числа в натуральное число? А они разве множества? Нет, можно, конечно, построить их как множества, но это необязательно.

ivan1000 в сообщении #492301 писал(а):

Вопрос с самого начала состоял не в том, как что-то назвать (назвать можно и горшком), а дать определение общего понятия морфизма - в общепринятом смыле употребления термина "морфизм".

А что такое группа? "Группой называется...", ой, простите, "Группа — это...". Ага, ладно. Тогда: морфизм — это элемент некоторой категории. Категория — это совокупность объектов, для которых мы умеем делать то-то и то-то (определять домен и кодомен объекта, определять т.н. композицию объектов), причем эти действия подчиняются определенным законам.

Блин, да даже если просто взять группу $G$ — то каждый ее элемент является морфизмом. В какой категории — угадайте сами.

Это мы уже по какому заходу одно и тоже долбаем?
И каждый их нас "упрямится, всяк на своем стоит".
Давайте останемся при своих мнениях.

Я свого достиг на этой теме - убедился:
пока нет ничего лучше общеприятого (или распространеного) неявного определения типа:
морфизм (отображение);
что означает морфизм = отображение (что это синонимы).
Меня это устраивает - в тех вопросах, которыми я сейчас занимаюсь,
в частности, на начальных этапах освоения теории категорий.
Как говорится, сам не сетую и другим советую.

[Kallikanzarid]

ivan1000 в сообщении #492704 писал(а):

Я свого достиг на этой теме - убедился:
пока нет ничего лучше общеприятого (или распространеного) неявного определения типа:
морфизм (отображение);
что означает морфизм = отображение (что это синонимы).

Это банально не так.

[Joker_vD]

ivan1000 в сообщении #492704 писал(а):

пока нет ничего лучше общеприятого (или распространеного) неявного определения типа:морфизм (отображение);что означает морфизм = отображение (что это синонимы).

Нет! Это не синонимы, есть полно морфизмов, которые не являются отображениями, и даже никак не связаны с ними. Любой элемент любой группы — морфизм. Натуральное число — это тоже морфизм. Функтор — это тоже морфизм.

[ivan1000]

Joker_vD в сообщении #492871 писал(а):

ivan1000 в сообщении #492704 писал(а):

пока нет ничего лучше общеприятого (или распространеного) неявного определения типа:морфизм (отображение);что означает морфизм = отображение (что это синонимы).

Нет! Это не синонимы, есть полно морфизмов, которые не являются отображениями, и даже никак не связаны с ними. Любой элемент любой группы — морфизм. Натуральное число — это тоже морфизм. Функтор — это тоже морфизм.

Тогда дайте, пожалуйста, соответствующее определение морфизма в таком широком смысле.
А пока я принимаю за рабочую основу (временную может быть) косвенное опредление морфизма в двух фундаментальных книгах по теории категорий:
морфизмы (отображения).
Пока это мне вполне подходит.
Но настораживают постоянные возражения без определений - будем бдительны.

[Kallikanzarid]

ivan1000
Вы так и не объяснили мне, каким образом морфизмы $\mathbf{hTop}$ - отображения, а ведь это простейший контрпример к вашим разглагольствованиям.

Вы требуете определение морфизма, но чем вас не устраивает такое: морфизм - это стрелка в категории? Т.е. категория состоит из объектов и стрелок между ними, на стрелках частично определена ассоциативная операция композиции, и каждому объекту $X$ соответствует стрелка $1_X$, удовлетворяющая свойству: если определена композиция $1_X \circ f$, то $1_X \circ f = f$, и если определена композиция $f \circ 1_X$, то $f \circ 1_X = f$ для любой стрелки $f$.

Если не обращать внимания на некоторые теоретико-множественны затруднения (которые, в принципе, можно обойти, один из способов сделать это дан в книге The Joy of Cats, свободно доступной в интернете), то это и есть определение категории.

Основная идея теории категорий - смотреть на объекты не изнутри, а снаружи (т.е. исследовать их, рассматривая не детали их построения, а морфизмы между ними), при этом нам удается захватить все свойства объектов, сохраняющиеся при изоморфизмах, и так сложилось, что интересуют нас обычно именно они. При этом можно вообще забыть, как строятся объекты и морфизмы, вся информация о классе изоморфизма любого объекта полностью содержится в операции композиции морфизмов.

[Joker_vD]

ivan1000 в сообщении #493298 писал(а):

Тогда дайте, пожалуйста, соответствующее определение морфизма в таком широком смысле.

Вы издеваетесь, а? Морфизм — это элемент какой-то категории. Все. Вам уже выше Kallikanzarid расписал, что такое категория, только он не упомянул, что из категории можно выбросить все объекты, оставив только стрелки. Тогда категория состоит сплошь из морфизмов и представляет, собственно, объединение моноидов.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #493385 писал(а):

Тогда категория состоит сплошь из морфизмов и представляет, собственно, объединение моноидов.

Ммм... это как? Скорее обобщение моноида тогда :)

[Joker_vD]

Kallikanzarid
Да, действительно. Внутри нее можно выделять моноиды, но целиком они категорию не покроют.

[bnovikov]

Kallikanzarid в сообщении #493419 писал(а):

Joker_vD в сообщении #493385 писал(а):

Тогда категория состоит сплошь из морфизмов и представляет, собственно, объединение моноидов.

Ммм... это как? Скорее обобщение моноида тогда :)

Более того, это полугруппа с нулем ($ab=0$, если композиция $a$ и $b$ не определена) со свойством

$$ abc=0 \Longrightarrow ab=0 \vee bc=0, $$

которое называется категорийностью в нуле.

[_hum_]

А не являлось ли "докатегориальное" понятие морфизма отображением, обладающим характерным свойством - сохранять какие-то выделенные отношения [форму этих отношений - отсюда и "морфо"] между элементами множеств?

[Kallikanzarid]

bnovikov
Любопытно 8)

[bnovikov]

Kallikanzarid в сообщении #493495 писал(а):

bnovikov
Любопытно 8)

Более любопытно другое: несмотря на название, класс категорийных в нуле полугрупп гораздо шире класса (малых) категорий, однако обладает многими их свойствами. Хотелось бы элементы этих полугрупп тоже представить как некое обобщение морфизмов/отображений (конечно, не в духе филологических изысканий ivan1000). Я когда-то пробовал, но до конца не добрался.