Где экспонента, там надо сделать усилие и заменить индекс суммирования в одном из рядов. Тогда в обоих станет
![$t^n$ $t^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/0/d40fe4a2a35ee79af39cc08be869ea2282.png)
и они соберутся в один.
В обоих рядах станет
![$t^n$ $t^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/0/d40fe4a2a35ee79af39cc08be869ea2282.png)
, но за знак суммы тогда вынесется t, а это вроде бы не комильфо, т.е. разве верно такое равенство
![$e^4(t+1)e^t=e^4(t+1)\sum_{n=0}^\infty\frac {t^n} {n!}$ $e^4(t+1)e^t=e^4(t+1)\sum_{n=0}^\infty\frac {t^n} {n!}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/5/1853c955664cc161a468486a4f0c866382.png)
Вторая часть получается вроде такая же, если менять индексы суммирования.
А где синус, там мне непонятно, что Вам непонятно. Снова синус, ну. Взять производную - будет косинус. Потом снова синус. И опять косинус. И опять синус.
Необходимо всё сделать только с использованием стандартных разложений Маклорена, т.е. без вычисления всяких производных и нахождения их значений в определенных точках (таким методом это делалось на 1 семестре 1 курса
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
), в этих функциях ведь делается замена
![$t=x-x_0$ $t=x-x_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/1/1218ee8519195b47d0ad53cb8184740782.png)
, а после этой замены в этом примере получается снова исходная функция, поэтому что делать дальше - я не знаю...