Помогите с разложением в ряд Тейлора

[renzzo]

Само задание звучит так:
Построить ряд Тейлора данной функции в окрестности точки $x_0$, используя стандартные разложения Маклорена основных элементарных функций. Указать область, в которой разложение справедливо.

Всего 4 задания, из которых по существу у меня получилось только одно, в остальных только догадки... Собственно то, которое получилось:
$f(x)=(2x-5)^{-1}, x_0=-3$
$t=x+3, x=t-3$
$f(x)=\frac 1 {2t-10}=-\frac 1 {10} \cdot \frac 1 {1-t/5}=-\frac 1 {10} \sum_{n=0}^{\infty}t^n\frac 1 {5^n}$

$-1<t<1 \rightarrow -4<x<-2$

Теперь о тех, что не получаются...
Например, $f(x)=xe^{3+x}, x_0=1$
Если решать опять же заменой переменной, то получается абсурд:
$f(x)=e^4(t+1)e^t=e^4(te^t+e^t)=e^4(\sum\frac {t^{n+1}} {n!}+\sum \frac {t^n} {n!})=...$
И вот что с этим делать?.. Как сложить эти два ряда, если там всегда будет вылезать t

А так же еще один пример:
$f(x)=\sin3x, x_0=\pi$
$\sin(3t+3\pi)=\sin(3t+\pi)=-\sin3t$
И что с этим делать, если снова sin3x? О_о

-- 11.10.2011, 20:36 --

В первом там с коэффициентами косяк, но меня интересуют остальные два =)

[ИСН]

Где экспонента, там надо сделать усилие и заменить индекс суммирования в одном из рядов. Тогда в обоих станет $t^n$ и они соберутся в один.
А где синус, там мне непонятно, что Вам непонятно. Снова синус, ну. Взять производную - будет косинус. Потом снова синус. И опять косинус. И опять синус.

[renzzo]

ИСН в сообщении #491704 писал(а):

Где экспонента, там надо сделать усилие и заменить индекс суммирования в одном из рядов. Тогда в обоих станет $t^n$ и они соберутся в один.

В обоих рядах станет $t^n$, но за знак суммы тогда вынесется t, а это вроде бы не комильфо, т.е. разве верно такое равенство $e^4(t+1)e^t=e^4(t+1)\sum_{n=0}^\infty\frac {t^n} {n!}$ Вторая часть получается вроде такая же, если менять индексы суммирования.

ИСН в сообщении #491704 писал(а):

А где синус, там мне непонятно, что Вам непонятно. Снова синус, ну. Взять производную - будет косинус. Потом снова синус. И опять косинус. И опять синус.

Необходимо всё сделать только с использованием стандартных разложений Маклорена, т.е. без вычисления всяких производных и нахождения их значений в определенных точках (таким методом это делалось на 1 семестре 1 курса ), в этих функциях ведь делается замена $t=x-x_0$, а после этой замены в этом примере получается снова исходная функция, поэтому что делать дальше - я не знаю...

[ИСН]

renzzo в сообщении #491712 писал(а):

В обоих рядах станет $t^n$, но за знак суммы тогда вынесется t

А не надо выносить t. Ха, вынести-то любой сумеет, а вот заменить индекс суммирования -это...

renzzo в сообщении #491712 писал(а):

Необходимо всё сделать только с использованием стандартных разложений Маклорена

Ну? И что? Там у Вас среди стандартных нету разложения для синуса, что ли?

[renzzo]

Цитата:

Ну? И что? Там у Вас среди стандартных нету разложения для синуса, что ли?

Стандартные разложения действуют для окрестности точки $x_0=0$, а в задаче $x_0=\pi$, к тому же аргумент у синуса $3x$, а в точке $x_0=\pi$ не "прокатит" х просто заменить на 3х

Цитата:

А не надо выносить t. Ха, вынести-то любой сумеет, а вот заменить индекс суммирования -это...

В том, что эта задача может решаться каким-то способом и она решаема в принципе - я и без форума подозревал, а тему здесь создал для помощи в решении по существу

[ИСН]

renzzo в сообщении #491737 писал(а):

Стандартные разложения действуют для окрестности точки $x_0=0$

Верно, поэтому надо заменить переменную таким образом, чтобы у новой переменной в этом месте имелся 0... минуточку, да ведь Вы это уже сделали! А что аргумент 3x - ну, если любите всё объяснять до тонкостей, можете заменить переменную ещё раз, чтобы новая переменная равнялась 3x.

renzzo в сообщении #491737 писал(а):

В том, что эта задача может решаться каким-то способом и она решаема в принципе - я и без форума подозревал

А я не говорю, что она решаема в принципе (хорош был бы совет!) - я говорю, что она решаема вполне конкретным способом, вот таким. Индекс суммирования - это вот эта буковка $n$. Заменять его в принципе примерно так же, как заменять переменную: придумать новый, выразить старый через новый, заменить старый во всех местах на его выражение через новый.

[bot]

renzzo, чтобы понять подсказки, выпишите несколько членов одной суммы и другой и посмотрите, как члены двух сумм складывать удобнее - при одном n, но с разными покателями или с разными n, зато с одинаковыми показателями.