Один вид функциональных уравнений и один его представитель

[Portnov]

Приветствую.

Эта задача, в общем-то, несколько надуманная, по своей природе она из той же серии, что «полуночные задачи» Кэрролла. Но мне кажется занятной. Если найдём решение, её, наверное, можно будет в «Олимпиадные задачи» поместить :)

Рассмотрим уравнения вида $f\circ f = g$, где $f,g\in X$, $X$ — некоторая группа функций $M\to M$ относительно операции композиции, $M$ — какое-нибудь множество. Функция $g$ дана, функцию $f$ надо найти. Есть какие-нибудь идеи, как решать такие уравнения?

Задача выше сформулирована в довольно общем виде, так что для иллюстрации приведу более частные примеры. Сначала пусть $M = \{0, 1\}$, $X$ — группа всех биекций $M\to M$. Ясно, что в такой $X$ всего два элемента. Тогда исходное уравнение при $g = I$ (единичное отображение) имеет два решения: $f = I$ и $f = J$, где $J(0) = 1$, $J(1) = 0$. При $g = J$ исходное уравнение не имеет решений.

Теперь пусть $M=\mathbb{R}$, $X$ — группа всех функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Пусть $g(x)=x^2$. Тогда решением исходного уравнения будет функция $f(x) = x^{\sqrt{2}}$. И, я думаю (правда, не уверен), это решение будет единственным.

Т.о., в принципе, обсуждаемое уравнение может либо не иметь решений вообще, либо иметь единственное решение, либо иметь много решений. Вот ещё пример, который выглядит очень простым, но я его пока не осилил. Пусть опять $M=\mathbb{R}$, $X$ — какая-нибудь (какая угодно, лишь бы решение найти) группа функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. И пусть $g(x) = -x$. Существует ли $f$, такая что $f(f(x)) = g(x)$ $\forall x\in\mathbb{R}$? Легко подобрать функцию $f(x) = ix$ (где $i$ — мнимая единица), но она не $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Есть какие-нибудь мысли, как решать хотя бы этот частный пример?

[ИСН]

Всех букв не читал; Вы непрерывности требовали где-нибудь? А то там можно влипнуть в такой ведьмин студень, что - - -

-- Ср, 2011-10-12, 16:00 --

Есть точные решения для дробно-линейных и по крайней мере некоторых кусочно-линейных, а вообще-то плохо всё.

[MaximVD]

Такие уравнения называются - iterative functional equations. В интернете есть достаточно много статей на эту тему (на англ. языке). Вроде, даже книги есть.

[Portnov]

ИСН
Я требую принадлежности к «какой-нибудь группе». Можно выделить какую-нибудь группу, в которой все функции непрерывные, если от этого станет легче.
Но вот относительно последнего примера, я нашёл подходящую функцию, которая является решением не на всём $\mathbb{R}$, а на одном всюду плотном его подмножестве. Конечно, эта функция не является непрерывной. Боюсь, если потребовать непрерывности — решений совсем не останется :/

MaximVD
Погуглим, спасибо.

[bnovikov]

Portnov в сообщении #491850 писал(а):

Эта задача, в общем-то, несколько надуманная...

В книге
Higgins P. Techniques of semigroup theory
есть параграф
Square roots in finite full transformation semigroups.
Может быть, он окажется полезен Вам?

[alcoholist]

Portnov в сообщении #491905 писал(а):

Я требую принадлежности к «какой-нибудь группе».

Любая группа является группой преобразований.
Ваше условие -- любой элемент является квадратом, т.е. square map

$$ sq:G\to G,\quad sq(g)=g^2 $$

.
является сюрьекцией.

Например, таким свойством обладает любая компактная связная группа Ли.

Это свойство наследуется при факторизации.

Если к тому же $sq$ -- эндоморфизм, то группа по необходимости абелева.

-- Чт окт 13, 2011 01:51:58 --

Portnov в сообщении #491850 писал(а):

Пусть опять $M=\mathbb{R}$, $X$ — какая-нибудь (какая угодно, лишь бы решение найти) группа функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. И пусть $g(x) = -x$. Существует ли $f$, такая что $f(f(x)) = g(x)$ $\forall x\in\mathbb{R}$? Легко подобрать функцию $f(x) = ix$ (где $i$ — мнимая единица), но она не $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Есть какие-нибудь мысли, как решать хотя бы этот частный пример?

Любая такая группа $G$ состоит из обратимых функций. Имеется очевидный гомоморфизм "ориентации" $o:G\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ($o(f)(x)=\pm x$ в зависимости от того, сохраняет $f$ ориентацию прямой, или нет). Если бы $G$ обладала рассматриваемым свойством, то и $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ тоже. А Вы сами показали, что это не так.

[alcoholist]

Уж по крайней мере для линейных групп (групп матриц) вопрос полностью исследован