классификация отражений

[beroal]

• 2D, относительно
  
  • точки
  • прямой
• 3D, относительно
  
  • точки
  • прямой
  • плоскости

Как эта классификация продолжается для других размерностей? Есть ли в этом какая-то система, общие формулы для расчёта отражений? (Собственно, меня интересовали симметрии.)

[ИСН]

Так и продолжается, а формулы - какие такие формулы Вы хотите? Для чего? Из чего?

[ewert]

beroal в сообщении #491302 писал(а):

Есть ли в этом какая-то система, общие формулы для расчёта отражений?

Есть. Отражение относительно подпространства -- это ортогональный проектор на это подпространство минус ортогональный проектор на ортогональное дополнение к этому подпространству.

[beroal]

ewert в сообщении #491343 писал(а):

beroal в сообщении #491302 писал(а):

Есть ли в этом какая-то система, общие формулы для расчёта отражений?

Есть. Отражение относительно подпространства -- это ортогональный проектор на это подпространство минус ортогональный проектор на ортогональное дополнение к этому подпространству.

Я и не думал, что надо задействовать два подпространства. Например, когда отражаю в 3D относительно плоскости, я вычитаю 2 раза проекцию на прямую, ортогональную плоскости.

А литературу подскажете, где бы освещался именно вопрос отражений и именно с точки зрения линейной алгебры и матриц? Википедия ссылается на «Coxeter. Introduction to Geometry. 1969.», подходит ли эта книга?

[JMH]

Наиболее общий случай, который, как я понимаю Вас и интересует, это отражение относительно гиперплоскости - унитарное преобразование, оставляющее на месте все элементы выбранной гиперплоскости. А искать литературу советую в разделе "алгебра"; посмотрите например Винберга или Дьёдонне... или поновее что-нибудь...

[alcoholist]

есть еще инверсии... Да мало ли инволюций

[VAL]

JMH в сообщении #491751 писал(а):

Наиболее общий случай, который, как я понимаю Вас и интересует, это отражение относительно гиперплоскости - унитарное преобразование, оставляющее на месте все элементы выбранной гиперплоскости.

Полагаю, это, все же, частный случай. У ewert'а общее.
А под ваш "общий" три из пяти перечисленных топикстартером не попадают.

[ewert]

beroal в сообщении #491735 писал(а):

Я и не думал, что надо задействовать два подпространства. Например, когда отражаю в 3D относительно плоскости, я вычитаю 2 раза проекцию на прямую, ортогональную плоскости.

Можно и так сформулировать. Ортопроектор минус ортопроектор -- это ровно то же самое, что тождественное преобразование минус два ортопроектора.

[beroal]

JMH в сообщении #491751 писал(а):

А искать литературу советую в разделе "алгебра"; посмотрите например Винберга или Дьёдонне... или поновее что-нибудь...

Это — «Dieudonne. linear algebra and geometry.djvu»?

-- Wed Oct 12, 2011 15:12:11 --

VAL в сообщении #491775 писал(а):

JMH в сообщении #491751 писал(а):

Наиболее общий случай, который, как я понимаю Вас и интересует, это отражение относительно гиперплоскости - унитарное преобразование, оставляющее на месте все элементы выбранной гиперплоскости.

Полагаю, это, все же, частный случай. У ewert'а общее.
А под ваш "общий" три из пяти перечисленных топикстартером не попадают.

А какие именно? Вроде все сохраняют норму и неподвижны на гиперплоскости, относительно которой они отражают. (Под отражением я понимаю линейное преобразование, не аффинное.)

[VAL]

beroal в сообщении #491867 писал(а):

VAL в сообщении #491775 писал(а):

JMH в сообщении #491751 писал(а):

Наиболее общий случай, который, как я понимаю Вас и интересует, это отражение относительно гиперплоскости - унитарное преобразование, оставляющее на месте все элементы выбранной гиперплоскости.

Полагаю, это, все же, частный случай. У ewert'а общее.
А под ваш "общий" три из пяти перечисленных топикстартером не попадают.

А какие именно?

Отражение плоскости относительно прямой и пространства относительно плоскости. Ведь гиперплоскость - это плоскость, размерность которой на 1 меньше размерности исходного пространства.

Цитата:

(Под отражением я понимаю линейное преобразование, не аффинное.)

А что, бывают отражения, не являющиеся аффинными преобразованиями?!

[ewert]

VAL в сообщении #491889 писал(а):

А что, бывают отражения, не являющиеся аффинными преобразованиями?!

beroal имел в виду, что ему лень возиться с аффинными оговорками и он ограничивается линейным случаем.

[beroal]

VAL в сообщении #491889 писал(а):

Отражение плоскости относительно прямой и пространства относительно плоскости.

Ну а если в определении JMH заменить гиперплоскость на линейное подпространство, то всё в порядке?

[JMH]

beroal в сообщении #491867 писал(а):

Это — «Dieudonne. linear algebra and geometry.djvu»?

Нет, там врядли будет развёрнутое изложение. Я имел ввиду книги "Геометрия классических групп" и "Геометрическая теория инвариантов", в сети имеются на русском языке.

[VAL]

beroal в сообщении #492001 писал(а):

VAL в сообщении #491889 писал(а):

Отражение плоскости относительно прямой и пространства относительно плоскости.

Ну а если в определении JMH заменить гиперплоскость на линейное подпространство, то всё в порядке?

Не уверен.
Во-первых, понятие "унитарное преобразование" применяется к комплексным пространствам. А я не уверен. что Вас интересовали именно такие пространства. Впрочем, Вам виднее.
Во-вторых, унитарное (или его аналог для пространств над $\mathbb R$ - ортогональное) преобразование, тождественно действующее на каком-то подпространстве, вовсе не обязано быть отражением.

[ewert]

VAL в сообщении #492046 писал(а):

Во-первых, понятие "унитарное преобразование" применяется к комплексным пространствам. А я не уверен. что Вас интересовали именно такие пространства. Впрочем, Вам виднее.
Во-вторых, унитарное (или его аналог для пространств над $\mathbb R$ - ортогональное) преобразование, тождественно действующее на каком-то подпространстве, вовсе не обязано быть отражением.

Первое непринципиально. Во втором же JMH, видимо, действительно подсознательно имел в виду подпространство единичной коразмерности, и тогда его утверждение верно (хоть и не вполне в тему).