2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Комбинаторное тождество с биномиальными коэффициентами
Сообщение06.10.2011, 17:06 


23/11/09
173
Решал одну задачку и получил некое соотношение, потом на опыте заметил, что его можно обобщить до такого:
$ \sum \limits ^{n}_{k=0} {(-1)^kC^k_nC^{n-1}_{kx+y}} \equiv 0$ для любых $n>0$ и $x,y \in \mathbb R$
Интересно, как доказываются такие тождества? Недавно прочитал про так называемые биномиальные последовательности многочленов, но как их здесь применять (и надо ли вообще) не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение06.10.2011, 17:21 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Могу только посоветовать Грехэма, Кнута, Паташника Конкретную математику - там есть систематический разбор разных комбинаторных тождеств. Может быть, что-то найдете что-то полезное здесь. Там есть всяческие свертки типа $\sum\limits_kC_{tk+r}^k C_{tn-tk+s}^{n-k} \frac{r}{tk+r} = C_{tn+r+s}^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение06.10.2011, 17:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
deep blue в сообщении #490070 писал(а):
Интересно, как доказываются такие тождества?
См. книгу Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. (Наука, 1977)

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение06.10.2011, 18:29 
Заслуженный участник


28/04/09
1933

(Нестрого)

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\binom{kx+y}{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k\cdot\dfrac{\left.\left(z^{kx+y}\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}}{(n-1)!}=$$$$=\dfrac{1}{(n-1)!}\left.\left(z^y \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-z^x\right)^k\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\left.\left(z^y \left(1-z^x\right)^{n}\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}=$$$$=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\left.\left(z^y\right)^{(k)}\right|_{z=1} \cdot\left.\left(\left(1-z^x\right)^{n}\right)^{(n-1-k)}\right|_{z=1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\left.\left(z^y\right)^{(k)}\right|_{z=1} \cdot 0=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение06.10.2011, 18:51 


25/08/05
645
Україна
Еще рекомендую Риордан, Комбинаторные тождества, а также очень хороший справочник Gould.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторное тождество
Сообщение06.10.2011, 20:41 


23/11/09
173
Всем спасибо, особенно EtCetera за потрясное доказательство, лихо вы разобрались! Наверное, это самый короткий путь к цели, к тому же использующий элементарные понятия. Я думал, что вещественность коэффициентов делает задачу сложнее, но для вашего метода это оказалось несущественным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group