Комбинаторное тождество с биномиальными коэффициентами

[deep blue]

Решал одну задачку и получил некое соотношение, потом на опыте заметил, что его можно обобщить до такого:
$ \sum \limits ^{n}_{k=0} {(-1)^kC^k_nC^{n-1}_{kx+y}} \equiv 0$ для любых $n>0$ и $x,y \in \mathbb R$
Интересно, как доказываются такие тождества? Недавно прочитал про так называемые биномиальные последовательности многочленов, но как их здесь применять (и надо ли вообще) не знаю.

[Sonic86]

Могу только посоветовать Грехэма, Кнута, Паташника Конкретную математику - там есть систематический разбор разных комбинаторных тождеств. Может быть, что-то найдете что-то полезное здесь. Там есть всяческие свертки типа $\sum\limits_kC_{tk+r}^k C_{tn-tk+s}^{n-k} \frac{r}{tk+r} = C_{tn+r+s}^n$

[nnosipov]

deep blue в сообщении #490070 писал(а):

Интересно, как доказываются такие тождества?

См. книгу Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. (Наука, 1977)

[EtCetera]

(Нестрого)

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\binom{kx+y}{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k\cdot\dfrac{\left.\left(z^{kx+y}\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}}{(n-1)!}=$$

$$=\dfrac{1}{(n-1)!}\left.\left(z^y \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-z^x\right)^k\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\left.\left(z^y \left(1-z^x\right)^{n}\right)^{(n-1)}\right|_{z=1}=$$

$$=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\left.\left(z^y\right)^{(k)}\right|_{z=1} \cdot\left.\left(\left(1-z^x\right)^{n}\right)^{(n-1-k)}\right|_{z=1}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\left.\left(z^y\right)^{(k)}\right|_{z=1} \cdot 0=0$$

[Leox]

Еще рекомендую Риордан, Комбинаторные тождества, а также очень хороший справочник Gould.

[deep blue]

Всем спасибо, особенно EtCetera за потрясное доказательство, лихо вы разобрались! Наверное, это самый короткий путь к цели, к тому же использующий элементарные понятия. Я думал, что вещественность коэффициентов делает задачу сложнее, но для вашего метода это оказалось несущественным.