Лекции для школьников

[JIEHUH1990]

Ну если дети знакомы с элеменарными знанниями о множествах можно обьяснить им теорию иррациоанльных чисел по Дедикинду,через сечении рациональных множеств логически довести до того момента когда у нижнего класса сечения не будет максимального элемента,у верхнего класса сечения не будет минимального элемента.Ввижу того что это число корень из двух -иррационально.Плюсы этого метода в его наглядности.
Допустим есть рациональное множество всех чисел.Разделим его произвольным образом на два непустых множества(в каждом множестве есть зотябы один элемент) А и А1.А- назовем нижним классом,А1 верхним классом.
Будем называть данное разбиение на множество сечением если выполняються следующие свойства-1)Любой элемент множества Q ялвяеться либо членом нижнего класса,либо членом верхнего класса.
2)Каждый элемент а класса А меньше каждого элемента а1 класса А1.
Далее ставяться три простых примера по отысканию граничного элемента ,который яляеться либо максимальным элементом нижнего класса,либо минимальным верхнего класса.
Пример 1.Определим А как множество элементов а обладающим следкующим свойством а<1 ,а А1 как множество элементов а1 обладающих следующим свойством а1>=1.
Легко убедиться что в данном случае мы получим сечение.Очевидно 1 будет являеться минимальным элемпентом А1,а А не будет иметь максимлаьного элемента
Пример 2.Доказать что Нижний класс имеет максимальное число аналогично как в примере 1.
Пример 3.Как раз таки и подводит нас к иррациоанльному числу.
Зададим множество А элементов а формулой а^2<2 ,множество А1 элементов а1 формулой а1^2>2
Далее идет доказательство того что нижний класс не имеет максимальных элементов,а верхний минимальных ввиду того что между ними лежит число корень из 2,которое не рационально.Доказательство основано на аксиоме архимеда по этому я его опускаю.
По моему это смаый простой способ логического приведения к необходимости введения понятия об иррациоанльном числе.
Конечно я написал все кривовато но если вы заинтересованы то более качественное обьяснение есть в Фихтенгольц т.1 "Курс диффиринциального и интегрального исчесления"Очень качественная книга.
Можно конечно привести пример попытаясь выразить диагональ квадрата со стороной 1 через теорему пифагора и от противного(что достаточно просто) доказать что данное тчисле не рациоанльно,а следовательно не являеться ни целым ни натуральным,а каким то новым ну и это есьм иррациональное число.
"Корень из 2 — иррациональное число
Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда

Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число."
Вот и все доказательство_
Вообще без свойств рациоанльных чисел,особенно без свойств плотности трущдно будет обьяснить это.
А вообще это даже трудно обьяснить и студенту вуза.Садовничий-ректор МГу,начиная вести анализ всегда испытывает трудности перед тем как обьяснить студентам МЕХМАТА как понять что такое иррациоанльное число

[arseniiv]

Eiktyrnir в сообщении #482169 писал(а):

Просто на миг сознание отключилось и я забыл

В преподавании этого делать нельзя.

[Eiktyrnir]

arseniiv в сообщении #483000 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #482169 писал(а):

Просто на миг сознание отключилось и я забыл

В преподавании этого делать нельзя.

Да вы правы - мне безумно стыдно за этот ляп (и за другие тоже ляпы стыдно не меньше). Просто теперь при составлении подобных обобщающих лекций я буду очень-очень внимательным и осторожным. Честно говоря после того как я получил ряд обоснованных критических замечаний - я сразу понял насколько моя самоуверенность сыграла со мной злую шутку. Я очень рад, что вывели меня на чистую воду и указали на досадные ошибки.

JIEHUH1990 писал(а):

Ну если дети знакомы с элементарными знанниями о множествах можно обьяснить им теорию иррациональных чисел по Дедикинду...

Я не уверен, что они знакомы с подобным изложением. Представьте себе деток уровня 9-го класса средней сельской школы. Вот такие детки теперь у меня на 1-м курсе. Это конечно не значит, что они плохо учатся там или что иное - им просто могли этого не рассказывать. Есть просто замечательные дети! Но правда есть одна группа 1 курса на базе 11 клсса - им я преподаю высшую математику (элементы высшей математики так скажем) и у меня оперативного простора меньше - всего 40 часов в год. Начал я с производных, теперь мы уже осилили производные сложных функций и даже логарифмическую, сейчас планирую плавно перейти на приложение производных для исследования поведения функции (построения графиков). Потом думаю заняться интегральным исчислением.
Кстати, уважаемые корифеи, подскажите методологически как лучше построить курс вышки за 40 часов? Рабочей программы нет, вот пишу кстати - взял типовую с другого колледжа и мудрю теперь.

С глубоким ко всем уважением, eiktyrnir.

[мат-ламер]

Цитата:

Кстати, уважаемые корифеи, подскажите методологически как лучше построить курс вышки за 40 часов?

Может Вам помогут лекции по математике В.Босса?

[Eiktyrnir]

мат-ламер в сообщении #484041 писал(а):

Цитата:

Кстати, уважаемые корифеи, подскажите методологически как лучше построить курс вышки за 40 часов?

Может Вам помогут лекции по математике В.Босса?

Извините я в последнее время плохо гугулюсь - можно хотя бы полное название? Более точное так скажем...

-- Вс сен 18, 2011 20:59:55 --

мат-ламер в сообщении #484041 писал(а):

Цитата:

Кстати, уважаемые корифеи, подскажите методологически как лучше построить курс вышки за 40 часов?

Может Вам помогут лекции по математике В.Босса?

Пардон... все нашел... Спасибо!

[Eiktyrnir]

мат-ламер писал(а):

Может Вам помогут лекции по математике В.Босса?

(Оффтоп)

Как приятно читается... От души написано...

[Eiktyrnir]

Подправил слайд-лекцию. Огромное спасибо за критические замечания!!!
Премного благодарен - Dan B-Yallay, мат-ламер, Хорхе, --mS--, PAV, arseniiv
http://files.mail.ru/5RJBY2 - Лекция № 1 "Развитие понятий о числе" (исправленная с учетом важных критических замечаний)
http://files.mail.ru/DMXVZS - Лекция № 2 "Корни, степени, логарифмы" (необходима критика!).
Если не затруднит глубокоуважаемых мэтров - прошу высказать свои мнения насчет Лекции № 2 "Корни, степени, логарифмы".

С уважением, eiktyrnir.

[мат-ламер]

После определения степеней и перед определением логарифмов возникло чувство, что чего-то не хватает. Степени определяется только для рациональных показателей, а как определить степень от произвольного действительного числа? Вот тут и понадобятся свойства действительных чисел, которые обсуждались здесь ранее. И не надо суперстрогих доказательств. Но на уровне интуитивного понимания что-то надо сказать. Затем перед логарифмами надо пару слов о свойствах степенной функции (непрерывность, монотонность). Может график этой функции показать. Это, чтобы затем строго определить логарифм. Но я не мэтр и далёк от преподавания.

-- Пн окт 03, 2011 20:19:34 --

В качестве приложения логарифмов можно привести и первое историческое (ныне устаревшее) их применение - упрощение расчётов.

[Eiktyrnir]

мат-ламер писал(а):

После определения степеней и перед определением логарифмов возникло чувство, что чего-то не хватает. Степени определяется только для рациональных показателей, а как определить степень от произвольного действительного числа? Вот тут и понадобятся свойства действительных чисел, которые обсуждались здесь ранее. И не надо суперстрогих доказательств. Но на уровне интуитивного понимания что-то надо сказать.

Я вас понял. В принципе так получилось, что в рамках темы про степени числа мы затрагивали степень числа с иррациональным показателем, но примеры после работы с ними приводились к степени с рациональным показателем (ну примеры только такие были). Но вы я думаю все равно правы - понятие степени произвольного действительного числа необходимо (а топ одумают, что степени только арифметические бывают ...).

мат-ламер писал(а):

Затем перед логарифмами надо пару слов о свойствах степенной функции (непрерывность, монотонность). Может график этой функции показать. Это, чтобы затем строго определить логарифм.

Это будет позже - я рассматриваю модуль про функции - отдельно - там я и скажу то о чем вы сейчас намекаете. Согласен с вами, но в рамках действия с числами и буквенными выражениями - думаю этого достаточно. К понятию функция мы скоро подберемся (незаметно). - График тогда и покажу и поведение, и прочая, и про логарифмы вспомню, но уже в другом качестве (в качестве функции). Сейчас нехочу пока на этом делать акцент.

мат-ламер писал(а):

Но я не мэтр и далёк от преподавания.

Не прибедняйтесь, пожалуйста...
Спасибо Вам!

[ewert]

Общее впечатление -- неструктурированность изложения. Не акцентировано, где определения, где свойства, а где примеры -- всё сливается в некий сплошной поток фактов. Со степенями-то ещё как раз куда ни шло; в частности, я вовсе не считаю большим грехом отсутствие иррациональных показателей -- всё равно школьникам про вещественные числа толком ничего не объяснишь, так или иначе выйдет некоторое жульничество. А вот в первой части -- про числа вообще -- лучше бы поаккуратнее.

Самая первая табличка -- где иерархия -- оно, конечно, красиво, но не без существенных дефектов. Нехорошо, что (например) рациональные и иррациональные числа изображены одинаково -- ведь первичными здесь являются рациональные, иррациональные же -- просто по определению всего лишь дополнение к рациональным. Следовало бы хотя бы шрифтом выделить ключевые классы: натуральные, целые, рациональные, вещественные; а ещё лучше было бы предварить эту табличку просто цепочкой вложений. Неуместным выглядит разделение дробей на "обычные", десятичные и периодические: если в прочих случаях речь идёт именно об альтернативах, то тут -- всего лишь разные описания одного и того же. И совсем никуда не годится, что нолик обозван "цифрой". Никакая он не цифра в этом контексте, а число.

Главное же -- не объясняется, по каким причинам (из каких потребностей) возникли вообще эти классы. Насчёт действительных чисел это объяснить это, правда, не так просто, но вот про целые, рациональные (и потом комплексные) -- необходимо.

В комплексных числах некоторая путаница в терминологии. Нельзя говорить "комплексные (мнимые) числа": мнимых чисел вообще не бывает, бывают разве что чисто мнимые как подкласс комплексных. И наоборот: мнимая единица не называется комплексной (как это в одном месте зачем-то сделано). Запись $i=\sqrt{-1}$ и вообще нехороша, и уж тем более в качестве определения; следует говорить: "$i$ -- это такое число, что $i^2=-1$". Это существенно, поскольку есть принципиальная разница между арифметическим корнем и корнем в комплексном понимании. На каком уровне строгости объяснять формальную корректность понятия мнимой единицы -- вопрос следующий, но во всяком случае необходима мотивировка -- по какой причине она вообще понадобилась (в первую очередь из потребности решать квадратные уравнения).

[VoloCh]

ewert прав имхо
Каша какая-то...
Да и фактические ошибки...

А кто вам сказал, что $c=0{,}71828…$?
На самом деле $0{,}577215664901532...$
И вот $\frac{\pi^2}3=3{,}2898681336964528729448303332921..$ а у вас откуда взято?