Например, можно привети такое доказательство для вещественного случая (для комплексного доказывается аналогично):
Возьмите следующее определение скалярного произведения:

и проверьте для него аксиомы:
1)

- очевидно;
2) обычно берут такую функцию:

и подстановкой равенства параллелограма доказываеют ее тождетвенность нулю.
3)

очевидно, обнуляется в точках -1 и 0 и выполняется для всех целых чисел как следствие предыдуей аксиомы, а следовательно и для всех рациональных. Любое трансцендентное число с заданной точностью приближается рациональными.
4) неотрицательная определенность также очевидна.