Доказать теорему Йордана-фон Неймана

[discobot]

Если в нормированном пространстве норма удоволетворяет равенству паралелограмма, то на нем можно ввести скалярное произведение.

[Kallikanzarid]

Доказательство довольно техническое, почему бы вам не посмотреть его в учебнике?

[sergei1961]

Правильный совет, например в Колмогорове-Фомине. Есть и другие аналогичные критерии. Есть такой нестрогий принцип в фольклоре: каждая теорема элементарной геометрии, записываемая в виде равенства некоторых длин, является таким критерием.

[sheipak]

Например, можно привети такое доказательство для вещественного случая (для комплексного доказывается аналогично):
Возьмите следующее определение скалярного произведения: $(f_1, f_2) = \frac{1}{4}(||f_1+f_2||^2-||f_1-f_2||^2)$ и проверьте для него аксиомы:
1) $(f_1, f_2) = (f_2, f_1)$ - очевидно;
2) обычно берут такую функцию: $4((f_1 + f_2, f_3) - (f_1, f_3) - (f_2, f_3)) = ||f_1+f_2+f_3||^2 + ||f_1+f_2-f_3||^2 - ||f_1+f_3||^2 + ||f_1-f_3||^2 - ||f_2+f_3||^2 + ||f_2-f_3||^2$ и подстановкой равенства параллелограма доказываеют ее тождетвенность нулю.
3) $(cf_1, f_2)-c(f_1, f_2)$ очевидно, обнуляется в точках -1 и 0 и выполняется для всех целых чисел как следствие предыдуей аксиомы, а следовательно и для всех рациональных. Любое трансцендентное число с заданной точностью приближается рациональными.
4) неотрицательная определенность также очевидна.

[ewert]

Ну только значок-то во второй строчке исправьте. Кроме того, для комплексных пространств аналогичные выкладки несколько длиннее. Впрочем, это непринципиально.

Там два уровня занудства. Первый -- это как бы чего накомбинировать, чтобы получить аддитивность скалярного произведения; это требует некоторой изобретательности в гонянии формулок туды-сюды. И второй -- как из аддитивности, пользуясь непрерывностью нормы относительно самой себя, вытянуть однородность скалярного произведения. В итоге и выходит, что лучше книжку почитать; хотя идеи во всех книжках, конечно, именно такие.